考研数学三(二重积分)模拟试卷3(题后含答案及解析).pdfVIP

考研数学三（二重积分）模拟试卷3(题后含答案及解析)

题型有：1.选择题2.填空题3.解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．下列结论正确的是()

A．z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内两个偏导数存在，则z=f(x，y)在点(x0，

y0)处连续

B．z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内连续，则z=f(x，y)在点(x0，y0)处两

个偏导数存在

C．z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内两个偏导数存在且有界，则z=f(x，y)

在点(x0，y0)处连续

D．z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内连续，则z=f(x，y)在点(x0，y0)该邻

域内两个偏导数有界

正确答案：C

解析：二元函数的连续性与偏导数之间没有必然的联系．设在(x0，y0)的某

邻域U内，对于任意(x，y)∈U有|fx’(x，y)|≤M，|fy’(x，y)|≤M(M为正常数)．由

微分中值定理，|f(x，y)一f(x0，y0)|≤|f(x，y)一f(x，y0)|+|f(x，y0)一f(x0，

y0)|=|fy’(x，y0+θ1△y).△y|+|fx’(x0+θ2△x，y0).△x|≤M(|△x|+|△

y|)．这里△x=x—x0，△y=y—y0，0＜θ1，θ2＜1．当，有△x→0，△y→0，

必有|f(x，y)一f(x0，y0)|≤M(|△x|+|△y|)→0，故f(x，y)在点(x0，y0)处连续．知

识模块：微积分

2．设f(u)具有二阶连续导数，且g(x，y)==()

A．

B．

C．

D．

正确答案：A

解析：依题意有知识模块：微积分

填空题

3．设存在二元可微函数u(x，y)，满足du(x，y)=(axy3一y2cos

x)dx+(1+bysinx+3x2y2)dy，则常数a=____，b=_______，函数u(x，y)=_______．

正确答案：2；一2；x2y3一y2sinx+y+C，其中C是任意常数

解析：由题设条件知，=axy2一y2cosx,=1+bysinx+3x2y2，于是有即3axy2

一2ycosx=6xy2+bycosx，所以a=2，b=一2．于是du(x，y)=(2xy3一y2cos

x)dx+(1-2ysinx+3x2y2)dy=(2xy3dx+3x2y2dy)一(y2cosxdx+2ysinxdy)+dy

=d(x2y3)-d(y2sinx)+dy=d(x2y3一y2sinx+y)，所以u(x，y)=x2y3一y2sin

x+y+C(C是任意常数)．知识模块：微积分

4．设F(u，v)对其变元u，v具有二阶连续偏导数，并设

正确答案：

解析：知识模块：微积分

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

5．设函数f(x，y)可微，又f(0，0)=0，fx’(0，0)=a，fy’(0，0)=b，且φ(t)=f[t，

f(t，t2)]，求φ’(0)．

正确答案：在φ(t)=f[t，f(t，t2)]中令u=t，v=f(t，t2)，则φ(t)=f(u，v)，于是

φ’(t)=f1’(u，v).=f1’(u，v).1+f2’(u，v).[f1’(t，t2).1+f2’(t，t2).2t]=f1’[t，

f(t，t2)]+f2’[t，f(t，t2)].[f1’(t，t2)+f2’(t，t2).2t]，所以φ’(0)=f1’(0，0)+f2’(0，

0)．[f1’(0，0)+f2’(0，0).2.0]=a+b(a+0)=a(1+b)．涉及知识点：微积

分