专题09 三角形中的特殊模型-燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）模型（解析版）.docxVIP

专题09三角形中的特殊模型-燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）模型

近年来各地考试中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1、“飞镖”模型（“燕尾”模型）

图1图2

条件：如图1，凹四边形ABCD；结论：①；②。

条件：如图2，线段BO平分∠ABC，线段OD平分∠ADC；结论：∠O=（∠A+∠C）。

飞镖模型结论的常用证明方法：

例1．（2023·福建南平·八年级校考阶段练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”．

如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢?下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”逃去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和．

（即如图1，∠ADB=∠A+∠B+∠C）理由如下：

方法一：如图2，连结AB，则在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，

即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，

又：在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，

∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．

方法二：如图3，连结CD并延长至F，

∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角，

．．．．．．．．．．

大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论．

任务：

(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是_________；

(2)探索及应用：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分．

【答案】(1)三角形的内角和定理(2)见解析

【分析】（1）根据解题过程作答即可；（2）连结CD并延长至F，由三角形外角的性质即可证明．

【详解】（1）由解题过程可得，“方法一”主要依据的一个数学定理是三角形的内角和定理，

故答案为：三角形的内角和定理；

（2）连结CD并延长至F，

∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角，

，

，即．

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和三角形外角的性质，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．

例2．（2023·吉林·八年级统考期末）图1是用一种彭罗斯瓷砖平铺成的图案，它的基础部分是“风筝”和“飞镖”两郎分，图2中的“风筝”和“飞镖”是由图3所示的特殊菱形制作而成．在菱形中，，在对角线上截取，连按，，可将菱形分割为“风筝”（凸四边）和“飞镖”（凹四边形）两部分，则图2中的°．

【答案】144

【分析】根据菱形的每一条对角线平分一组对角的性质、等腰三角形的相关性质以及三角形的全等证明，可以先求出的度数，再根据三角形全等求出,进而得出的度数．

【详解】在菱形中，

，

，

在与中

故答案为：144

【点睛】题目主要考查菱形对角线的性质、等腰三角形的相关性质以及三角形的全等证明方法，难度适中．

例3．（2023·广东河源·八年级校考期末）（1）模型探究：如图1所示的“镖形”图中，请探究与、、的数量关系并给出证明；（2）模型应用：如图2，平分，平分，，，请直接写出的度数．

【答案】（1）=++，理由见详解；（2）21°

【分析】（1）连接CD并延长到点E，利用三角形的外角的性质求解即可；（2）由（1）可知：∠ADB-∠C=∠A+∠B=90°，从而得∠EDO-∠BCO=×90°=45°，结合∠EDO+∠E=∠BCO+∠B，即可求解．

【详解】解：（1）=++，理由如下：

连接CD并延长到点E，

∵∠ADE＝∠ACD＋∠A，∠BDE＝∠BCD＋∠B，

∴∠ADE＋∠BDE＝∠ACD＋∠A＋∠BCD＋∠B，∴=++．

（2）由第（1）题可得：=++，∴∠ADB-∠ACB=∠A+∠B=66°+24°=90°，

∵平分，平分，∴∠EDO-∠BCO=（∠ADB-∠C）=×90°=45°，

∵∠DOE=∠BOC，∴∠EDO+∠E=∠BCO+∠B，

∴∠B-∠E=∠EDO-∠BCO=45°，∴∠E=∠B-45°=66°-45°=21°．

【点睛】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握三角形外角的性质，是解题的关键．

例4.（2023·浙江·八年级假期作业）如图所示，在中，，在上，，是上的任意一点，求证．

【详解】作点关于的对称点，则点落在线段CD上．连接交于点，连接．

由轴对称图形的性质可得，．

在中