第04讲 1.3 空间向量及其运算的坐标表示（12类热点题型讲练）（解析版）_1_1.docxVIP

第04讲1.3空间向量及其运算的坐标表示

课程标准

学习目标

①理解和掌握空间向量的坐标表示及意义

②会用向量的坐标表达空间向量的相关运算

③会求空间向量的夹角、长度以及有关平行、垂直的证明

利用空间向量的坐标表示，将形与数有机结合，并能进行相关的计算与证明是学习空间向量及运算的关键.也是解决空间几何的重要手段与工具.

知识点01：空间向量的正交分解及其坐标表示

1、空间直角坐标系

空间直角坐标系及相关概念

(1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系.

(2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分．

2、空间向量的坐标表示

2.1空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标．

2.2空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作.

【即学即练1】（2023春·高二课时练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为________．

【答案】

【详解】因为是空间的一个单位正交基底，则有.

所以向量用坐标形式表示为.

故答案为：

知识点02：空间向量运算的坐标表示

设，空间向量的坐标运算法则如下表所示：

运算

坐标表示

加法

减法

数乘

数量积

知识点03：空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示

1、两个向量的平行与垂直

平行（）

垂直（）

（均非零向量）

特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了.

【即学即练2】（2023春·四川成都·高二四川省成都列五中学校考阶段练习）已知两个空间向量，，且，则实数的值为__________．

【答案】

【详解】因为，，且，

所以，即，即，解得.

故答案为：

2、向量长度的坐标计算公式

若，则，即

空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度

3、两个向量夹角的坐标计算公式

设，则

【即学即练3】（2023春·高二课时练习）已知向量，，，，.

(1)求x，y，z的值；

(2)求向量与所成角的余弦值．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）∵，，，，

因为，设存在实数，使得，

所以，则.

因为，，则.

∴所以.

（2）由（1）知，，，

∴，，

∴，

，，

∴.

∴向量与所成角的余弦值为.

4、两点间的距离公式

已知，则

题型01空间向量的坐标表示

【典例1】（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）在空间直角坐标系中，已知三点，若点在平面内，则点的坐标可能是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由，，

显然，不共线，

根据向量基本定理可得，

故C点坐标为，

经验算只有B选项符合条件，

此时，

故选：B

【典例2】（多选）（2023·全国·高二专题练习）如图，在正三棱柱中，已知的边长为2，三棱柱的高为的中点分别为，以为原点，分别以的方向为轴?轴?轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【详解】在等边中，，所以，则，，则.

故选：ABC

【典例3】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考开学考试）已知点，，点满足，则点的坐标是________.

【答案】

【详解】设，为坐标原点.由点满足，得，可得，则点的坐标是.

故答案为：．

【变式1】（2023秋·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，，则等于

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由题，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，则

故选C．

【变式2】（2023春·高二课时练习）若?，点在线段上，且，则点的坐标是___________.

【答案】

【详解】解：点?，为线段上一点，且，

所以，

设点的坐标为，则，

则，即，

解得，即；

故答案为：．

题型02空间向量的坐标运算

【典例1】（2023春·高二课时练习）已知向量，，，求：

(1)；

(2)；

(3).

【答案】(1)(2)2(3)4

【详解】（1）由，得

（2）

（3）

【典例2】（2023春·高二课时练习）如图，在长方体中，，，，以为单