专题09 圆中的最值模型之阿氏圆模型（解析版）.docxVIP

专题09圆中的最值模型之阿氏圆模型

最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化

归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆

问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型背景】已知平面上两点A、B，则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早

由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。

【模型解读】如图1所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB，连

接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？

如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。

故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，

其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3所示：

注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：

在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为

圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．

【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。

例1．（2022·安徽·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半

1

径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（）

3

A．7B．52C．410D．213

【答案】B

【详解】思路引领：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性质

11

证明MPPA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题．

33

答案详解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．

PCCM

∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM•CA，∴，

CACP

PMPC1

∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴，

PAAC3

11

∴PMPA，∴AP+BP＝PM+PB，

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∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，

11

∴BM127252，∴AP+BP≥52，∴AP+BP的最小值为52．故选：B．

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例2．（2022·湖北·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的