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专题12圆中的重要模型之定角定高(探照灯)模型、米勒最大角模型
圆在中考数学几何模块中占据着重要地位,也是学生必须掌握的一块内容,本专题就圆形中的重要模型(米勒最大视角(张角)模型、定角定高(探照灯)模型)进行梳理及对应试题分析,方便掌握。
近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型,问题往往以动点为背景,与最值相结合,综合性较强,解析难度较大,学生难以找到问题的切入点,不能合理构造辅助圆来求解。实际上,这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型,需要对其中的动点轨迹加以剖析,借助圆的特性来探究最值情形。而轨迹问题是近些年中考压轴题的热点和难点,既可以与最值结合考查,也可以与轨迹长结合考查,综合性较强、难度较大。
模型1.米勒最大张角(视角)模型
【模型解读】已知点A,B是∠MON的边ON上的两个定点,点C是边OM上的动点,则当C在何处时,∠ACB最大?对米勒问题在初中最值的考察过程中,也成为最大张角或最大视角问题。
米勒定理:已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点,点C是边OM上的一动点,则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时,∠ACB最大。
【模型证明】
如图1,设C’是边OM上不同于点C的任意一点,连结A,B,因为∠AC’B是圆外角,∠ACB是圆周角,易证∠AC’B小于∠ACB,故∠ACB最大。
在三角形AC’D中,
又
【解题关键】常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型,并能直接运用米勒定理解题,这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度,从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展,即使解出也费时化力。
例1.(2023·广东湛江·中考模拟)如图,海边立有两座灯塔A、B,暗礁分布在经过A、B两点的弓形(弓形的弧是⊙O的一部分)区域内,∠AOB=80°.为了避免触礁,轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为
例2.(2023·北京·九年级统考期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,P为x轴正半轴上一点.已知点,,为的外接圆.(1)点M的纵坐标为;(2)当最大时,点P的坐标为.
例3.(2023·江苏南京·九年级统考期中)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=8,M是CD的中点,点P是BC上一个动点,若∠DPM的度数最大,则BP=.
例4.(2023·广东深圳·统考二模)课本呈现:如图1,在射门游戏中,球员射中球门的难易程度与他所处的位置对球门的张角()有关.当球员在,处射门时,则有张角.某数学小组由此得到启发,探究当球员在球门同侧的直线射门时的最大张角.
问题探究:
(1)如图2,小明探究发现,若过、两点的动圆与直线相交于点、,当球员在处射门时,则有.
小明证明过程如下:设直线交圆于点,连接,则
∵___________
∴___________∴
(2)如图3,小红继续探究发现,若过、两点的动圆与直线相切于点,当球员在处射门时,则有,你同意吗?请你说明理由.
问题应用:如图4,若,米,是中点,球员在射线上的点射门时的最大张角为,则的长度为___________米.
问题迁移:如图5,在射门游戏中球门,是球场边线,,是直角,.若球员沿带球前进,记足球所在的位置为点,求的最大度数.(参考数据:,,,,.)
例5.(2023·山西晋城·模拟预测)如图,已知抛物线与轴交于、两点(在的左侧),与轴交于点,,点的坐标为.
??
(1)求、、的坐标及的值;(2)直线经过点,与抛物线交于、,若,求直线的解析式;(3)过点作直线,为直线上的一动点.是否存在点,使的值最大?若存在,求出此时的值;若不存在,请说明理由.
模型2.定角定高模型(探照灯模型)
定角定高模型:如图,直线BC外一点A,A到直线BC距离为定值(定高),∠BAC为定角,则AD有最小值,即△ABC的面积有最小值。因为其形像探照灯,所以也叫探照灯模型。。
条件:在△ABC中,∠BAC=(定角),AD是BC边上的高,且AD=h(定高)。
结论:当△ABC是等腰三角形(AB=AC)时,BC的长最小;△ABC的面积最小;△ABC的周长最小。
证明思路:如图,作△ABC的外接圆,连接OA,OB,OC,
过点O作OE⊥BC于点E,设的半径为r,则∠BOE=∠BAC=;∴BC=2BE=2OBsin=2rsin。
∵OA+OE≥AD(当且仅当点A,O,E三点共线时,等号成立),∴r+rcosa≥h,
.当取等号时r有最小值,此时BC的长最小:2rsin;△ABC的面积最小:ADrsin;
△ABC的周长最小:2rs
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