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专题13解直角三角形之实际应用模型
解直角三角形是中考的重要内容之一,直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题转化为数学问题是关键,通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题,在解直角三角形时要注意三角函数的选取,避免计算复杂。在解题中,若求解的边、角不在直角三角形中,应先添加辅助线,构造直角三角形。为了提高解题和得分能力,本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。
【重要模型】
模型1、背靠背模型
图1图2图3
【模型解读】若三角形中有已知角时,则通过在三角形内作高CD,构造出两个直角三角形求解,其中公共边(高)CD是解题的关键.
【重要关系】如图1,CD为公共边,AD+BD=AB;
如图2,CE=DA,CD=EA,CE+BD=AB;
如图3,CD=EF,CE=DF,AD+CE+BF=AB。
例1.(2023春·河北秦皇岛·九年级统考期中)如图,在建筑物上,挂着米长的宣传条幅,从另一建筑物的顶端处看条幅顶端,仰角为,看条幅底端处,俯角为.求两建筑物间的距离(参考数值:,)
??
【答案】两建筑物间的距离是米
【分析】如图,设,根据题意可得是等腰直角三角形,则,,在中,根据特殊角的三角函数的计算方法即可求解.
【详解】解:如图,设,
??
∵仰角为,,∴,即是等腰直角三角形,
∴,,在中,,
∴,即,∴,∴,
∴两建筑物间的距离是米.
【点睛】本题主要考查解直角三角形,记忆相关特殊角的三角函数值是解题的关键.
例2、(2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习)如图,某校无人机兴趣小组借助无人机测量教学楼的高度,无人机在离教学楼底部处米的处垂直上升米至处,测得教学楼顶处的俯角为,则教学楼的高度约为米.(结果精确到米)(参考数据:,,)
??
【答案】
【分析】过作于点,可得,根据题意可知米,米,由作图知,米,在中利用三角函数可求出的长,即可求得的长
【详解】过作于点,
??
,米,米,,米,
在中,,,米,
米,
答:教学楼的高度约为米.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用,借助仰角构造出直角三角形,然后利用三角函数进行求解是关键.
例3.(2023年湖北中考数学真题)为了防洪需要,某地决定新建一座拦水坝,如图,拦水坝的横断面为梯形,斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比.已知斜坡长度为20米,,求斜坡的长.(结果精确到米)(参考数据:)
??
【答案】斜坡的长约为10米
【分析】过点作于点,在中,利用正弦函数求得,在中,利用勾股定理即可求解.
【详解】解:过点作于点,则四边形是矩形,
在中,,.∴.
∵,∴在中,(米).
答:斜坡的长约为10米.
【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题,掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.
例4.(2023?睢阳区中考模拟)数学兴趣小组准备测量学校外的一座古塔AB的高度,小明在地面C处观测到塔尖A的仰角为58°,塔的另一侧有一斜坡DE(D,B,C在同一直线上),坡度i=1:,小亮在E处测得塔尖A的仰角为45°,已知斜坡DE=15米,CD=20米,求古塔AB的高度.(精确到0.1米.参考数据:sin58°≈0.8480,cos58°≈0.5299,tan58°≈1.600)
【解答】解:过E作EF⊥BC于F,
在Rt△EDF中,∵山坡AB的坡度i=1:,∴tan∠EDF==1:=,
设EF=3k,DF=4k,∴DE=5k=15,∴k=3,∴EF=9米,DF=12米,
过E作EG⊥AB于G,则EG=BF,BG=EF,
∵∠AEG=45°,∴AG=EG,设EG=AG=BF=x米,∴AB=AG+BG=(x+9)米,
在Rt△ABC中,∠C=58°,∴tan58°==≈1.6,∴BC=,
∵CD=20米,∴EG+BC=DF+CD,∴x+=12+20,解得:x≈16.23,
∴AB=x+9=25.23≈25.2(米),答:古塔AB的高度约为25.2米.
模型2、母子模型
图1图2图3图4
【模型解读】若三角形中有已知角,通过在三角形外作高BC,构造有公共直角的两个三角形求解,其中公共边BC是解题的关键。
【重要等量关系】
如图1,BC为公共边,AD+DC=AC;
如图2,BC为公共边,DC-BC=DB;
如图3,DF=EC,DE=FC,BF+DE=BC,AE+DF=AC;
如图4,AF=CE,AC=FE,BC+AF=BE。
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