人教A版高考理科数学一轮总复习课后习题 第3章 导数及其应用 高考解答题专项一 第2课时 利用导数研究不等式恒(能)成立问题.docVIP

第PAGE4页共NUMPAGES5页

第2课时利用导数研究不等式恒(能)成立问题

1.(山东淄博实验中学高三月考)已知函数f(x)=(x+a)lnx,g(x)=a2x2

(1)当a=0时,求函数f(x)的最小值;

(2)若存在x∈(1,2]使得f(x)≥g(x)-2a-2成立,求实数a的取值范围.

2.(福建宁德模拟)已知函数f(x)=12x2-alnx-a,g(x)=ex

(1)当x∈[1,e]时,求f(x)的最小值;

(2)对于任意的x1∈[0,1]都存在唯一的x2∈[1,e]使得g(x1)=f(x2),求实数a的取值范围.

3.(江苏南通模拟)已知函数f(x)=aex-4,g(x)=lnx-x-1,其中e为自然对数的底数,a∈R.

(1)若对任意的x2∈(0,1],总存在x1∈(0,1],使得f(x1)≥g(x2),求a的取值范围;

(2)若函数y=f(x)的图象始终在函数y=g(

4.(上海华中师大一附中高三月考)已知函数f(x)=alnx+12(x-1)2,a∈

(1)当a=-2时,求函数f(x)的极值;

(2)若?x∈[1,+∞),都有f(x)≥0,求实数a的取值范围;

(3)设g(x)=lnx+12x2+ax+12,若?x0∈

答案：

1.解(1)当a=0时,f(x)=xlnx,定义域为(0,+∞),则f(x)=lnx+1,令f(x)0可得0x1e

令f(x)0可得x1e,∴f(x)在0,1e内单调递减,

∴f(x)min=f1e=-

(2)令F(x)=f(x)-g(x)+2a+2=(x+a)lnx-a2x2-x+2a+2,则原不等式等价于F(x)≥0在x∈(1,2]有解,F(x)=lnx-ax+a

令h(x)=lnx-ax+ax,x∈(1,2],则h(x)=1x-a-

当a=0时,F(x)=lnx0,则F(ax=F(2)=2ln20,满足题意,

当a0时,h(x)0在(1,2]上恒成立,即F(x)在(1,2]上单调递增,

则F(x)F(1)=0,故F(ax=F(2)=(a+2)ln2,则要使F(x)≥0在x∈(1,2]有解,满足(a+2)ln2≥0,解得-2≤a0,

综上,实数a的取值范围为[-2,0].

2.解(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)=x2-ax,当a≤1时,x∈[1,e],f(x)≥0,f(

当a≥e2时,x∈[1,e],f(x)≤0,f(in=f(e)=e2

当1ae2时,令f(x)=0,解得x=a,则x∈[1,a),f(x)0,f(x)单调递减,当x∈(a,e]时,f(x)0,f(in=f(a)=-a2

综上,当a≤1时,f(in=-a2

当a≥e2时,f(x)min=e2

(2)因为对于任意的x1∈[0,1]都存在唯一的x2∈[1,e]使得g(x1)=f(x2)成立,所以g(x)在x∈[0,1]的值域是f(x)在x∈[1,e]的值域的子集.

因为g(x)=ex-1,x∈[0,1],所以g(x)≥0,g(x)单调递增,g(x)的值域为[0,e-2].

由(1)知当a≤1时,f(x)在[1,e]上单调递增,f(1)=12-a,f(e)=e

所以f(x)在[1,e]上的值域为12-a,e22-2a,所以12-a≤0,

当1ae2时,x∈[1,a],f(x)单调递减,x∈[a,e],f(x)单调递增,且f(1)0,f(a)0,所以只需f(e)≥e-2,即e22-2a≥e-2,所以1a≤e24-e2+1.当a≥e2时,因为f(x)在[1,e]

所以不合题意.综上,实数a的取值范围是1

3.解(1)对任意的x2∈(0,1],总存在x1∈(0,1],使得f(ax,因为g(x)=lnx-x-1,则g(x)=1x-1=1-xx≥0对任意的x∈(0,1]恒成立,所以

因为f(x)=aex-4,

所以当a=0时,f(x)=-4,不满足f(ax,故a≠0;

当a0时,f(x)=aeax=f(1)=ae-4,即ae-4≥-2,解得a≥2

当a0时,f(x)=aex-4在(0,1]上单调递减,所以f(x)=aex-4在(0,1]上没有最大值,不满足题意,

综上,a的取值范围为2

(2)因为函数y=f(x)的图象始终在函数y=g(x)x-2的图象上方,所以f(x)g(x)x-2恒成立,因为x0,ex0,所以alnx+x-1xex=lnx+lnex-1xex=ln(xex)-1xex,令t=xex0,设h(t)=lnt-1t,其中t0,则h(t)=2-

4.解(1)当a=-2时,f(x)=-2lnx+12(x-1)2,定义域为

∴f(x)=-2x+x-1=x2-x-2x

当0x2时,f(x)0,当x2时,f(x)0,∴当x=2时,f(x)取得极小值f(2)=-2ln2+12,无极大值