专题14 二次函数与菱形存在性问题（解析版）.docxVIP

专题14二次函数与菱形存在性问题

解题点拨

【基本概念】

菱形作为一种特殊的平行四边形，可以从以下几种方式得到：

（1）有一组邻边相等的平行四边形菱形；

（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

（3）四边都相等的四边形是菱形．

【解题技巧】

坐标系中的菱形存在性问题也是依据以上去得到方法．和平行四边形相比，菱形多一个“对角线互相垂直”或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形ABCD是菱形，则其4个点坐标需满足：

考虑到互相垂直的两条直线斜率之积为1在初中并不适合直接用，故取两邻边相等．

即根据菱形的图形性质，我们可以列出关于点坐标的3个等式，

故菱形存在性问题点坐标最多可以有3个未知量，与矩形相同．

【基本题型】

因此就常规题型而言，菱形存在性至少有2个动点，多则有3个动点，可细分如下两大类题型：

（1）2个定点+1个半动点+1个全动点

（2）1个定点+3个半动点

【解题思路】

解决问题的方法也可有如下两种：

思路1：先平四，再菱形

设点坐标，根据平四存在性要求列出“A+C=B+D”（AC、BD为对角线），再结合一组邻边相等，得到方程组．

思路2：先等腰，再菱形

在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个点，再确定第4个点．

【例题解析】

如图，在坐标系中，A点坐标（1,1），B点坐标为（5,4），点C在x轴上，点D在平面中，求D点坐标，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形．

思路1：先平四，再菱形

设C点坐标为（m，0），D点坐标为（p，q）．

（1）当AB为对角线时，由题意得：（AB和CD互相平分及AC=BC）

，解得：

（2）当AC为对角线时，由题意得：（AC和BD互相平分及BA=BC）

，解得：或

（3）当AD为对角线时，由题意得：

，解得：或

思路2：先等腰，再菱形

先求点C，点C满足由A、B、C构成的三角形一定是等腰三角形，用等腰存在性问题的方法先确定C，再确定D点．

（1）当AB=AC时，

C点坐标为，对应D点坐标为；

C点坐标为，对应D点坐标为．

（2）当BA=BC时，

C点坐标为（8，0），对应D点坐标为（4，-3）；

C点坐标为（2，0），对应D点坐标为（-2，-3）．

（3）AC=BC时，

C点坐标为，D点坐标为．

以上只是两种简单的处理方法，对于一些较复杂的题目，还需具体问题具体分析，或许有更为简便的方法．

直击中考

1．（四川德阳模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点，连接．

(1)求抛物线的解析式及点的坐标；

(2)如图，点为线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长度的最大值．

(3)动点以每秒个单位长度的速度在线段上由点向点运动，同时动点以每秒个单位长度的速度在线段上由点向点运动，在平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)，

(2)当时，

(3)存在，或或

【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再令，可得，求解即可得点的坐标；

（2）由两点坐标求出直线的解析式，进而设出点的坐标，进而得出结论；

（3）要使点，，，为顶点的四边形是菱形，只需为等腰三角形，所以，或，结合图形得到答案即可．

【详解】（1）解：由题意，将点、代入，

可得，解得，

∴，

当时，可有，

解得，，

∴；

（2）设直线的解析式为，将点、代入，

可得，解得，

∴，

设点，，

∴，

∴当时，有；

（3）如图1，

∵，，

∴，

∴，

作轴于，

∴，

当时，

∴，

∵，

∴四边形为矩形，

∴，

由得，

∴，

∴，

∴，

∴；

如图，

当时，作轴于，作轴于，

∴，

可得四边形是矩形，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴；

如图，

当时，

，

∴，

∴，

∴．

综上所述：或或．

【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质、待定系数法求一次函数和二次函数解析式、等腰三角形的性质和菱形的性质等知识，解题关键是熟练掌握先关知识，运用分类讨论和数形结合的思想分析问题，并画出符合条件的图形．

2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于A，B两点，其中，．

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)点P，Q为直线下方抛物线上任意两点，且满足点P的横坐标为m，点Q的横坐标为，过点P和点Q分别作y轴的平行线交直线于C点和D点，连接，求四边形面积的最大值；

(3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线平移2个单位，得到新的抛物线，点E为点P的对应点，点F为的对称轴上任意一点，点G为平面直角坐标系内一点，当点构成以为边的菱形时，直接写出所有符合条件的点G的坐标．

【答案】(1)；

(2)；

(3)、、．

【分析】（1）用待定系数