专题14 直角三角形中的分类讨论模型（解析版）.docxVIP

专题14直角三角形中的分类讨论模型

模型1、直角三角形中的分类讨论模型

【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，优先考虑直角顶点（或斜边）分类讨论，再利用直角三角形的性质或勾股定理解题即可。

1）无图需分类讨论：①已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论；②已知无法确定是哪个角是直角时要分类讨论（常见与折叠、旋转中出现的直角三角形）。

2）“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）

即：如图：已知，两点是定点，找一点构成

方法：两线一圆

具体图解：①当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）

②当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）。

③当时，以为直径作圆，点在该圆上（，除外）。

例1．（2023秋·重庆·八年级统考期末）已知三角形的两边分别为6和8，当第三边为时，此三角形是直角三角形．

【答案】10或

【分析】根据勾股定理的逆定理分情况求解即可．

【详解】解：当6和8都为直角边长时，则第三边长为=10；

当6为直角边长，8为斜边长时，则第三边长为，

∴当第三边为10或时，此三角形是直角三角形，故答案为：10或．

【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理，确定直角边和斜边是解答的关键．

例2．（2023秋·浙江八年级课时练习）如图，在中，于点D，平分．若，F为线段上的任意一点，则当为直角三角形时，则的度数为（）

A． B． C．或 D．或

【答案】D

【分析】根据平分，可得，再由，可得，，再分两种情况：当时；当时，即可求解．

【详解】解：∵平分，，∴，

∵，∴，，

当时，如图，

∴；

当时，如图，

∴，∴；

综上所述，的度数为或．故选：D

【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形外角的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握直角三角形的性质，三角形外角的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．

例3．（2022秋·江西吉安·八年级统考期末）如图，在的小正方形网格中，点A，B为格点，另取一格点C，使为直角三角形，则点C的个数为（????）

A．4 B．6 C．8 D．10

【答案】B

【分析】根据网格的特点，以及直角三角形的定义即可求解．

【详解】解：如图所示，

共有6个格点使为直角三角形，，故选：B．

【点睛】本题主要考查了直角三角形的定义，根据题意、画出符合实际条件的图形以及掌握数形结合的思想是解答本题的关键．．

例4．（2023·河南新乡·八年级校考期中）平面直角坐标系中有点、，连接AB，以AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，则点C的坐标是．

【答案】或/或

【分析】据题意作出图形，①当时，过点作轴于点，证明；②当时，过点作轴于点，证明，根据点的坐标即可求得的坐标．

【详解】解：如图，

、，

以AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，则,

①当时，过点作轴于点，

在与中

②当时，过点作轴于点，同理可得

，

综上，点C的坐标是或故答案为：或

【点睛】本题考查坐标与图形，等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质与判定，分类讨论是解题关键．

例5．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝BC＝8，AO＝BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为．

【答案】4或4或4

【分析】分三种情况讨论：①当M在AB下方且∠AMB=90°时，②当M在AB上方且∠AMB=90°时，③当∠ABM=90°时，分别根据含30°直角三角形的性质、直角三角形斜边的中线的性质或勾股定理，进行计算求解即可．

【详解】如图1，当∠AMB=90°时，∵O是AB的中点，AB=8，∴OM=OB=4，

又∵∠AOC=∠BOM=60°，∴△BOM是等边三角形，∴BM=BO=4，

∴Rt△ABM中，AM==；

如图2，当∠AMB=90°时，∵O是AB的中点，AB=8，∴OM=OA=4，

又∵∠AOC=60°，∴△AOM是等边三角形，∴AM=AO=4；

如图3，当∠ABM=90°时，∵∠BOM=∠AOC=60°，∴∠BMO=30°，∴MO=2BO=2×4=8，

∴Rt△BOM中，BM==，∴Rt△ABM中，AM==．

综上所述，当△ABM为直角三角形时，AM的长为或或4．故答案为或或4．

例6.（2023·河南·三模）如图，长方形ABCD中，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC=8，AB=CD=17．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为．

【答案】或

【分析】分两种情况：点E在DC线段上，点E为DC延长线上的一点，进一步分析探讨得出