专题15 代几综合题（解答题25题，中考压轴题）（解析版）.docxVIP

专题15代几综合题（解答题25题，中考压轴题）（解析版）

题目精选自：2023、2024年上海名校及一二模真题，包含代几综合题20道。

一、解答题

1．（2024上·上海宝山·九年级统考期末）如图，已知中，，是边上一点，且，过点作，并截取，射线与的延长线交于点．

(1)求证：；

(2)设，，求与的函数关系式；

(3)如果是直角三角形，求的长．

【答案】(1)见解析；

(2)；

(3)或．

【分析】（1）先证明，得出，进而证明，根据相似三角形的性质，即可得证；

（2）过点作，交于点，证明，得出，，根据相似三角形的性质得出比例式，即可得出函数关系式；

（3）由，分两种情况分别讨论，，，在中，根据三角函数的定义，即可求解．

【详解】（1）证明：∵，

∴，

又∵，，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴

（2）解：过点作，交于点

又∵，

∴，

∴

∴，

由，,则，，

∴，

∵，

∴

∴，

∴，

∴.

（3）①，

②如果，

由，，可得

设，则，

在中，，

∴，.

③如果，

由，，可得，

设，，

在中，，

∴，.

所以，当是直角三角形时，的长为或.

【点睛】本题考查了三角函数的定义，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质，列函数关系式，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．

2．（2024上·上海静安·九年级统考期末）已知梯形中，，，，，．点在射线上，点在射线上（点、点均不与点重合），且，连接，设，的面积为.

(1)如图1所示，求的值；

(2)如图2所示，点在线段上，求关于的函数解析式，并写出定义域；

(3)当是等腰三角形时，求的长.

【答案】(1)

(2)

(3)或或；或

【分析】（1）过点A作交于点E，过点E作于点F，证明四边形为平行四边形，得出，，求出，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理求出，根据三角函数定义即可得出答案；

（2）过点作于点F，于点H，根据，，在中根据三角函数求出，，求出，根据三角形面积公式求出，然后求出x的取值范围即可；

（3）分四种情况进行讨论：当时，当，点Q在线段延长线上时，当，点Q在线段上时，当时，分别画出图形，求出结果即可．

【详解】（1）解：过点A作交于点E，过点E作于点F，如图所示：

∵，

∴四边形为平行四边形，

∴，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，．

即的值为．

（2）解：过点作于点F，于点H，如图所示：

根据解析（1）可知，，

∴在中，

∵，，

∴，

∴在中，

∴，

∴，

∵点在线段上，且当点Q在点C上时，的面积为0，即，

∴，

解得：，

∵点、点均不与点重合，

∴．

（3）解：当时，过点作于点M，如图所示：

根据解析（2）可知，，

根据勾股定理得：，

，

∵，，

∴，

∴，

根据解析（2）可知，，

∴，

解得：，

即；

当，点Q在线段延长线上时，如图所示：

，

根据解析（2）可知，，

∴，

解得：，

即；

当，点Q在线段上时，如图所示：

，

根据解析（2）可知，，

∴，

解得：，

即；

当，过点Q作于点N，

∵，，

∴，

在中，，

∴，

根据解析（2）可知，，

∴，

解得：，

即；

综上分析可知，或或；或．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，求函数解析式，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，注意分类讨论．

3．（2024上·上海金山·九年级统考期末）已知：如图，在中，，，，与边相交于点P．

(1)求证：；

(2)如果，求的值；

(3)如果是直角三角形，求的正切值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)或

【分析】（1）根据等边对等角可得；推得；根据等角对等边可得；根据直角三角形两锐角互余，等角的余角相等可得；根据等角对等边可得；根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边成比例，且都等于相似比即可证明．

（2）结合题意可得，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得；结合（1）中结论可求得；分别求出和，即可求解．

（3）分两种情况讨论：当时，根据相似三角形的判定和性质可求得；根据勾股定理和（1）中结论可求得，即可列出等式，求得，根据勾股定理求出，分别求出、与的关系，根据锐角三角函数的定义即可求解；当时，根据同旁内角互补，两直线平行可得；根据两直线平行，内错角相等可得；根据锐角三角函数的定义可推得，根据正方形的判定和性质即可求出，根据特殊角的锐角三角函数值即可求解；当时，分析可得不存在，即可推得该情况不存在．

【详解】（1）证明：∵，

∴，

∵，

∴，

∴,

∵，

∴，

即，

又∵，，

∴，

∴，

即，

∵，，

∴，

∴，

∵，，

∴,

即．

（2）解：∵，

∴，

即，

∴，

在中，，

∴，

又∵，

即，

整理得：；

∵，

∴，

∴．

（3）解：当时，

∵，，

∴，

∴,

∴，