人教A版高中数学(选择性必修第二册)同步讲义第15讲 5.3.1 函数的单调性 （教师版）.docVIP

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5.3.1函数的单调性

课程标准

课标解读

1.理解导数与函数的单调性的关系.

2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.

3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．

4.会利用导数证明一些简单的不等式问题.

5.掌握利用导数研究含参数的单调性的基本方法．

通过本节课要求能利用函数的导数判断函数的单调性，会求简单函数的单调区间，能证明简单的不等式，会利用导数解决单调性与含参数相关的问题.

知识点1函数的导数与单调性的关系

一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内，

(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增。

(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减。

(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数。

知识点2利用导数求函数的单调区间的方法

(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间．

注：①确定函数y＝f(x)的定义域；②求导数y′＝f′(x)；③解不等式f′(x)0，解集在定义域内的部分为增区间；④解不等式f′(x)0，解集在定义域内的部分为减区间．

(2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间．

注：①确定函数y＝f(x)的定义域；②求出导数f′(x)的零点；③用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．

(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间．

【即学即练1】求下列函数的单调区间

（1）f(x)＝SKIPIF10；（2）y＝SKIPIF10x2－lnx．（3）f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；（4）f(x)＝sinx－x(0xπ)．

（5）SKIPIF10；（6）SKIPIF10．

【答案】（1）单调递增区间是(－∞，1－SKIPIF10)和(1＋SKIPIF10，＋∞)；单调递减区间是(1－SKIPIF10，1)和(1，1＋SKIPIF10)；（2）单调递增区间为(1，＋∞)；单调递减区间为(0，1)．

（3）增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；减区间是(－3，2)；

（4）单调递减区间为(0，π)．

（5）函数的单调递减区间为SKIPIF10，SKIPIF10，单调递增区间为SKIPIF10；

（6）单调递增区间为SKIPIF10（SKIPIF10），单调递减区间SKIPIF10（SKIPIF10）.

【解析】（1）f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠1}，

f′(x)＝SKIPIF10＝SKIPIF10＝SKIPIF10．

令f′(x)0，解得x1＋SKIPIF10或x1－SKIPIF10；令f′(x)0，解得1－SKIPIF10x1或1x1＋SKIPIF10．

所以f(x)的单调递增区间是(－∞，1－SKIPIF10)和(1＋SKIPIF10，＋∞)；单调递减区间是(1－SKIPIF10，1)和(1，1＋SKIPIF10)．

（2）函数y＝SKIPIF10x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，又y′＝SKIPIF10．

若y′0，即SKIPIF10解得x1；若y′0，即SKIPIF10解得0x1．

故函数y＝SKIPIF10x2－lnx的单调递增区间为(1，＋∞)；单调递减区间为(0，1)．

（3）SKIPIF10＝6x2＋6x－36．由SKIPIF100得6x2＋6x－360，解得x－3或x2；

由SKIPIF10