人教A版高中数学(选择性必修第二册)同步讲义第18讲 拓展一：用导数研究曲线的切线问题的十种类型 (教师版）.docVIP

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拓展一：用导数研究曲线的切线问题的十种类型

用导数研究曲线的切线是高考一个主要考点，常与解析几何知识交汇命题，旨在考查同学们对导数的几何意义的正确理解。主要涉及求曲线切线的斜率与方程、曲线切线的条数、曲线的公切线、满足条件的切线是否存在及满足条件的切线的参数范围等问题。

导数的几何意义：

函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(即SKIPIF10（SKIPIF10为切线的倾斜角）)．相应地，切线方程为

y－y0＝f′(x0)(x－x0)．

注：曲线SKIPIF10在点SKIPIF10处的切线是指P为切点，斜率为SKIPIF10的切线，是唯一的一条切线。但曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点。

2、求曲线y＝f(x)的切线方程的类型及方法

已知切点SKIPIF10，求y＝f(x)过点P的切线方程

求曲线SKIPIF10在SKIPIF10处切线的步骤：

◆先求SKIPIF10，即曲线SKIPIF10在SKIPIF10处切线的斜率．

◆再求SKIPIF10，则切线过点SKIPIF10；

◆最后由点斜式写出直线方程：SKIPIF10．

特别的，如果SKIPIF10在点SKIPIF10处的切线平行于SKIPIF10轴（此时导数不存在）时，由切线定义知：切线方程为：SKIPIF10．

（2）已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0,y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程；

（3）已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0,y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程．

（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k＝f′(x0)求出切点坐标(x0,y0)，最后写出切线方程．

（5）①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上.②过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上．

(6)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况．

考点一求曲线切线的斜率

1．（2022秋·江苏扬州·高二扬州中学校考阶段练习）曲线SKIPIF10在点SKIPIF10处的切线的斜率为____________．

【答案】2

【分析】由导数几何意义即可求.

【详解】SKIPIF10，∴所求切线斜率为2.故答案为：2

2．（2022秋·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）曲线SKIPIF10在SKIPIF10处切线的斜率为（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】根据导数的几何意义求解即可.

【详解】SKIPIF10，故曲线SKIPIF10在SKIPIF10处切线的斜率为SKIPIF10.故选：D

3．（2022秋·湖南岳阳·高二校联考期中）函数SKIPIF10在SKIPIF10处切线的斜率为（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据导数的几何意义，求出导函数在该点处的值即可求解.

【详解】因为函数SKIPIF10，则SKIPIF10，

所以SKIPIF10，也即函数SKIPIF10在SKIPIF10处切线的斜率SKIPIF10，故选：SKIPIF10.

4．（2022秋·湖北武汉·高二武汉市第六中学校考阶段练习）如图，直线SKIPIF10是曲线SKIPI