专题19 二次函数与特殊角问题（原卷版）.docxVIP

专题19二次函数与特殊角问题

解题点拨

什么是特殊角？

说到特殊角我们很快就能想到比如30°、45°、60°、90°等，事实上，之所以以上角能称为特殊角，关键在于这些角的三角函数值特殊，比如同为整十，为什么我们会将60°称为特殊角，而50°便不是，原因很简单，，而我们并不知道50°的任一三角函数值．

因此角度特殊不在于这个角是多少度，而在于其三角函数值是否有特殊值，所以除了常见的30°、45°、60°，我们可以扩充一下特殊角的范围．

以及从最后一张图中可得二倍角或者半角的三角函数构造：

比如求tan15°：

tan22.5°：

一般半角三角函数值求法：

一般二倍角函数值求法：

特殊角与一次函数的关系

当我们初次接触到平面直角坐标系时，我们就认识了一、三象限角平分线及二、四象限角平分线，即直线y=x和直线y=-x，在一次函数中我们知道，若两直线平行，则k相等．

综合以上两点，可得：对于直线y=x+m或直线y=-x+m，与x轴夹角为45°．

并且我们还可通过画图与计算得知：

即“y=kx+b的k”与“直线和x轴的夹角”存在某种固定的联系．

关系就是：（是直线与x轴的夹角）．

不装了，我摊牌了~

坐标系中特殊角的处理方法

在坐标系中构造定角，从其三角函数值着手：

思路1：构造三垂直相似（或全等）；

思路2：通过三角函数值化“角度条件”为“直线k”．

引例1：如图，在平面直线坐标系中，直线AB解析式为，点M（2，1）是直线AB上一点，将直线AB绕点M顺时针旋转45°得到直线CD，求CD解析式．

【分析】

思路1：构造三垂直相似（全等）

在坐标系中存在45°角，可作垂直即可得到等腰直角三角形，构造三垂直全等确定图形．

在直线AB上取一点O，过点O作OP⊥AB交CD于P点，分别过M、P向x轴作垂线，垂足为E、F点．

易证△OEM≌△PFO，

故PF=OE=2，OF=ME=1，故P点坐标为（-1，2），

结合P、M坐标可解直线CD解析式：．

构造等腰直角的方式也不止这一种，也可过点O作CD的垂线，

但直角顶点未知的情况计算略难于直角顶点已知的情况，故虽可以做但并不推荐．

思路2：利用特殊角的三角函数值．

过M点作MN∥x轴，则，，

考虑到直线CD的增减性为y随着x的增大而减小，故，

所以直线CD：，

化简得：．

引例2：如图，在平面直线坐标系中，直线AB解析式为，点M（2，1）是直线AB上一点，将直线AB绕点M顺时针旋转得到直线CD，且，求直线CD解析式．

【分析】

在直线AB上再选取点O构造三垂直相似，如下图所示，

易证△PFO∽△OEM，且相似比，

即，，

故P点坐标为，

结合P、M点坐标可解直线CD解析式：．

本题并不容易从三角函数值本身下手，原因在于角度并不属于我们所讨论的特殊角范围之内，简便的做法只存在于特殊的角中．

认识特殊角，了解特殊角，运用特殊角，就能在复杂问题中找到简便的求法．

直击中考

1．如图，已知顶点为的抛物线与轴交于，两点，直线过顶点和点．

（1）求的值；

（2）求函数的解析式；

（3）抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

2．已知抛物线经过点和点，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．

(1)抛物线的解析式为___________，抛物线的顶点坐标为___________．

(2)如图1，是否存在点P，使四边形的面积为9？若存在，请求出点Р的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)如图2，连接交于点，当时，请直接写出点D的坐标；

(4)如图3，点E的坐标为，点C为x轴负半轴上的一点，，连接PE，若，请求出点Р的坐标．

3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且OA＝OC＝3OB，连接AC．

(1)求抛物线的表达式；

(2)点P从点C以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A，点Q从点O以每秒1个单位长度的速度沿OC运动到点C，点P和点Q同时出发，连接PQ，当点P到达点A时，点Q停止运动，求S△CPQ的最大值及此时点P的坐标；

(3)抛物线上是否存在点M，使得∠ACM＝15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

4．（2022·广东·模拟预测）如图，点B，C分别在x轴和y轴的正半轴上，OB，OC的长分别为x2-8x+12=0的两个根（OC＞OB），点A在x轴的负半轴上，且OA=OC=3OB，连接AC．

(1)求过A，B，C三点的抛物线的函数解析式；

(2)点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A，点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC运动到点C，连接PQ，当点P到达点A时，点Q停止运动，求S△CPQ的最大值；

(3)M是