人教A版高中数学(选择性必修第二册)同步讲义第27讲 拓展十：利用导数研究不等式恒（能）成立问题5种考法总结(原卷版）.docVIP

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拓展十：利用导数研究不等式恒（能）成立问题5种考法总结

策略1含参不等式恒成立问题的解题策略

在数学学习中，我们经常会遇到一类问题，那就是证明不等式恒成立或在不等式恒成立的条件下，求其中参数的取值范围。其问题的本质就是研究函数的变化情况，研究函数值的范围。导数作为研究函数单调性的有力武器，在这类问题中发挥了巨大的作用。

一、分离参数法

将原不等式分离参数,转化为不含参数的函数的最值问题,利用导数求该函数的最值,根据要求得出参数的范围。

1.变量与参数的确定:谁的范围已知,将其视为变量,构造关于它的函数,另一个字母视为参数。

2.分离参数法遵循两点原则:①已知不等式中两个字母容易进行分离;②分离参数后,已知变量的函数解析式容易求出最值或

临界值。

3.一般地,恒成立,只需即可;恒成立,只需即可。

二、函数最值法

将不等式转化为含某个待求参数的函数最值问题,先求该函数的最值,然后构建不等式求解。

注：1、对于恒成立，有两种理解方式，第一种是图像恒在图像上方，只需恒成立即可，可以通过构造函数求解；第二种是通过求解和的值域范围，观

察是否有，此方法称为最值比较法，但此种方法对和值域范围要求较高，因为，只是成立的充分条件而非必要条件，即时未必有成立，因而使用时需谨慎选择。

2、辨析型与型的差异:

1.对?x∈I,不等式恒成立,可转化为求函数

2.对?x∈I,不等式恒成立,可转化为求函数.

三、分离成两个函数，数形结合

把不等式分离成两个函数，再由函数图像关系及参数几何意义得出参数范围.分离出的两个函数必须一个是已知的，较为简单的函数，否则图像得不到.另一个带参数的函数也必须是已知的简单函数，参数的几何意义明显才比较容易由数形结合得出参数范围.而且作为解答题，数形结合可能比较难以论述清楚.

四、分类讨论、放缩取点法

通过求参数进行分类讨论，确定函数的单调性，进一步求出最值.

策略2利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

策略3对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．

考点一不等式恒成立求参数范围

（一）分离参数法

1．已知函数，当时，若对任意的，都有恒成立求的取值范围.

2．已知函数，当时，若对任意的都有恒成立，求的取值范围.

3．已知函数，当时，若对任意的，都有恒成立，求的取值范围.

4．已知函数在及时取得极值．

(1)求的值；

(2)若对于任意的，都有成立，求的取值范围．

5．已知函数，当时，若对任意的，且都有成立，求的取值范围.

6．已知函数．

(1)当时，求函数的单调区间和极值；

(2)若对于任意，都有成立，求实数的取值范围；

7．已知函数，．

(1)讨论的单调性；

(2)对，不等式恒成立，求实数的取值范围．

（二）分类讨论、放缩取点法

8．已知函数，若恒成立，则a的取值范围是（????）

A． B． C． D．

9．已知函数，当时，若都有恒成立，求的取值范围.

10．函数．

（1）若，求的单调区间；

（2）当时，，求的取值范围．

11．已知函数，曲线在点处的切线方程为.

(1)若，求a，b；

(2)若在上恒成立，求的取值范围.

12．已知函数.

(1)讨论的单调性;

(2)若对任意的，不等式恒成立，求a的取值范围.

（三）同构转化

13．若，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________.

14．已知函数，若对任意恒成立，则实数a的最小值为（????）

A． B． C． D．

15．已知函数．

(1)若，求a的取值范围；

(2)证明：若有两个零点，则．

16．设实数，若不等式对恒成立，则t的取值范围为（????）

A．B．C．D．

17．已知函数

（1）若，求函数的单调区间；

（2）设，若对任意，恒有，求a的取值范围.

18．已知函数，.

(1)令，求的最小值；

(2)若对任意，且，有恒成立，求实数m的取值范围.

19．已知函数满足.

(1)求的解析式；

(2)若对、且，都有