第03讲 子集、全集、补集(解析版)_1_1.docx

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第03讲子集、全集、补集

1.理解集合间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.

2.了解全集的概念,理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集.

3.能理解用Venn图表示集合的基本关系,体会Venn图对理解抽象概念的作用.

知识点一子集、真子集

子集

真子集

概念

如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A,则a∈B),那么集合A称为集合B的子集,记作A?B或B?A,读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”

如果A?B,并且A≠B,那么集合A称为集合B的真子集,记为AB或BA,读作“A真包含于B”或“B真包含A”

续表

子集

真子集

图示

结论

(1)任何一个集合是它本身的子集,即A?A;

(2)对于集合A,B,C,如果A?B,且B?C,那么A?C;

(3)规定??A,即空集是任何集合的子集

(1)若AB且BC,则AC;

(2)若A?B且A≠B,则AB;

(3)空集是任何非空集合的真子集

知识点二全集、补集

1.全集

(1)概念:如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集;

(2)记法:通常记作eq\a\vs4\al(U).

2.补集

文字语言

设A?S,由S中不属于集合A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集,记作?SA(读作“A在S中的补集”)

符号语言

?SA={x|x∈S,且x?A}

图形语言

3.补集的性质

(1)若A?S,则①?SA?S;②?S(?SA)=A;

③(?SS)=?;④?S?=S.

(2)已知A?S,B?S,相关结论如下:

①若A?B,则?SA??SB;②若?SA??SB,则A?B.

特别地,若A=B,则?SA=?SB;反之,若?SA=?SB,则A=B.

考点一:集合间关系的判断

例1指出下列各对集合之间的关系.

(1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)};

(2)A={x|-1x4},B={x|x-50};

(3)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形};

(4)M={x|x=2n-1,n∈N*},N={x|x=2n+1,n∈N*};

(5)A={x|x=2a+3b,a∈Z,b∈Z},B={x|x=4m-3n,m∈Z,n∈Z}.

【解析】(1)集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是有序实数对,故A与B之间无包含关系.

(2)集合B={x|x5},用数轴表示集合A,B如图所示,由图可知AB.

(3)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故AB.

(4)两个集合都表示正奇数组成的集合,但由于n∈N*,因此集合M含有元素“1”,而集合N不含元素“1”,故NM.

(5)A={x|x=2a+3b,a∈Z,b∈Z},因为任意k∈Z,k=2×(-k)+3k∈A,所以A={x|x=2a+3b,a∈Z,b∈Z}=Z,因为任意k∈Z,k=4k-3k∈B,所以B={x|x=4m-3n,m∈Z,n∈Z}=Z,所以A=B=Z.

【总结】

判断集合间关系的常用方法

(1)列举观察法:当集合中元素较少时,可列举出集合中的全部元素,通过定义得出集合之间的关系;

(2)集合元素特征法:先确定集合的代表元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断得出集合之间的关系.

一般地,设A={x|p(x)},B={x|q(x)},①若由p(x)可推出q(x),则A?B;②若由q(x)可推出p(x),则B?A;③若p(x),q(x)可互相推出,则A=B;④若由p(x)推不出q(x),由q(x)也推不出p(x),则集合A,B无包含关系;

(3)数形结合法:利用数轴或Venn图可清晰、明了地判断集合间的关系,其中不等式的解集之间的关系适合用数轴法.

变式已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={1,2},C={x|x8,x∈N},用适当的符号填空.

(1)A________B;(2)A________C;

(3){2}________C;(4)2________C.

【答案】(1)=(2)(3)(4)∈

【解析】集合A为方程x2-3x+2=0的解集,即A={1,2},而C={x|x8,x∈N}={0,1,2,3,4,5,6,7}.故(1)A=B;(2)AC;(3){2}C;(4)2∈C.

考点二:确定有限集合的子集、真子集及其个数

例2(1)集合M={1,2,3}的真子集个数是()

A.6 B.7

C.8 D.9

(2)满足{1,2}M?{1,2,3,4,5}的集合M有________个.

【答案】(1)B(2)7

【解析】(1)集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个,1个或2个,含有0个元素的真子集为?,含有1个元素的真子集有

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