第03讲 子集、全集、补集（解析版）_1_1.docx

第03讲子集、全集、补集

1．理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．

2．了解全集的概念，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集．

3．能理解用Venn图表示集合的基本关系，体会Venn图对理解抽象概念的作用．

知识点一子集、真子集

子集

真子集

概念

如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集，记作A?B或B?A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”

如果A?B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为AB或BA，读作“A真包含于B”或“B真包含A”

续表

子集

真子集

图示

结论

(1)任何一个集合是它本身的子集，即A?A；

(2)对于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么A?C；

(3)规定??A，即空集是任何集合的子集

(1)若AB且BC，则AC；

(2)若A?B且A≠B，则AB；

(3)空集是任何非空集合的真子集

知识点二全集、补集

1．全集

(1)概念：如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集；

(2)记法：通常记作eq\a\vs4\al(U)．

2．补集

文字语言

设A?S，由S中不属于集合A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作?SA(读作“A在S中的补集”)

符号语言

?SA＝{x|x∈S，且x?A}

图形语言

3．补集的性质

(1)若A?S，则①?SA?S；②?S(?SA)＝A；

③(?SS)＝?；④?S?＝S.

(2)已知A?S，B?S，相关结论如下：

①若A?B，则?SA??SB；②若?SA??SB，则A?B.

特别地，若A＝B，则?SA＝?SB；反之，若?SA＝?SB，则A＝B.

考点一：集合间关系的判断

例1指出下列各对集合之间的关系．

(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；

(2)A＝{x|－1x4}，B＝{x|x－50}；

(3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；

(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}；

(5)A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}．

【解析】(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．

(2)集合B＝{x|x5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知AB.

(3)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.

(4)两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.

(5)A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，因为任意k∈Z，k＝2×(－k)＋3k∈A，所以A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}＝Z，因为任意k∈Z，k＝4k－3k∈B，所以B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}＝Z，所以A＝B＝Z.

【总结】

判断集合间关系的常用方法

(1)列举观察法：当集合中元素较少时，可列举出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系；

(2)集合元素特征法：先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断得出集合之间的关系．

一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若由p(x)可推出q(x)，则A?B；②若由q(x)可推出p(x)，则B?A；③若p(x)，q(x)可互相推出，则A＝B；④若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系；

(3)数形结合法：利用数轴或Venn图可清晰、明了地判断集合间的关系，其中不等式的解集之间的关系适合用数轴法．

变式已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x8，x∈N}，用适当的符号填空．

(1)A________B；(2)A________C；

(3){2}________C；(4)2________C.

【答案】(1)＝(2)(3)(4)∈

【解析】集合A为方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1，2}，而C＝{x|x8，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．故(1)A＝B；(2)AC；(3){2}C；(4)2∈C.

考点二：确定有限集合的子集、真子集及其个数

例2(1)集合M＝{1，2，3}的真子集个数是()

A．6 B．7

C．8 D．9

(2)满足{1，2}M?{1，2，3，4，5}的集合M有________个．

【答案】(1)B(2)7

【解析】(1)集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，含有0个元素的真子集为?，含有1个元素的真子集有