第05讲 命题、定理、定义（解析版）_1_1.docx

第05讲命题、定理、定义

1．理解命题的概念与命题的判断，理解命题的结构，能判断命题的真假．

2．了解定理和定义与命题的关系，会用定理和定义解题．

知识点一命题

1．命题的定义：可判断真假的陈述句叫作命题．

2．命题的条件和结论：数学中，许多命题可表示为“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式，其中__p__叫作命题的条件，__q__叫作命题的结论．

3．命题的分类：判断为真的命题叫作真命题，判断为假的命题叫作假命题．

知识点二定理定义

1．定理：在数学中，有些已经被证明为eq\a\vs4\al(真)的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理．

2．定义：定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．

考点一：命题的概念

例1判断下列语句是否是命题，并说明理由．

(1)eq\f(π,3)是有理数；

(2)3x2≤5；

(3)梯形是不是平面图形呢？

(4)一个数的算术平方根一定是负数．

【解析】(1)“eq\f(π,3)是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．

(2)因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题．

(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．

(4)“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．

【总结】

判断语句是否是命题的策略

(1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题；

(2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题．

变式下列语句中是命题的有________；是真命题的有________(填序号).

①这里真热闹啊！②求证eq\r(2)是无理数；③一个数不是正数就是负数；④并非所有的人都喜欢苹果；⑤若x＝2，则x2－1＞0.

【答案】③④⑤④⑤

【解析】①是感叹句，不是命题；

②是祈使句，不是命题；

③是命题，一个数不是正数可能是负数，还可能为0，可以判断该陈述句的真假，所以该命题为假命题；

④是命题，有的人喜欢苹果，也有人不喜欢苹果，所以可判断该陈述句的真假，故它是命题，并且是真命题；

⑤是命题，x＝2时，x2－1＝3＞0，可以判断该陈述句的真假，故它是命题，并且是真命题．

考点二：判断命题的真假

例2判断下列命题的真假，并说明理由．

(1)正方形既是矩形又是菱形；

(2)当x＝4时，2x＋1＜0；

(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0.

【解析】(1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．

(2)是假命题，x＝4不满足2x＋1＜0.

(3)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.

【总结】

命题真假的判定方法

(1)真命题的判定方法：要判定一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证；

(2)假命题的判定方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判定一个命题为假命题的常用方法．

变式下列命题是真命题的是()

A．若xy＝1，则x，y互为倒数

B．平面内，四条边相等的四边形是正方形

C．平行四边形是梯形

D．若ac3＞bc3，则a＞b

【答案】A

【解析】A是真命题；B，平面内，四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形；C，平行四边形不是梯形；D，若C3小于0，则a＜b为假命题．

考点三：命题的结构形式

例3将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．

(1)6是12和18的公约数；

(2)当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；

(3)平行四边形的对角线互相平分；

(4)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.

【解析】(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题．

(2)若a＞－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根，是假命题．

(3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分，是真命题．

(4)已知x，y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2，是假命题．

【总结】

将命题改写为“若p，则q”形式的方法及原则

[注意]若命题不是以“若p，则q”这种形式给出时，首先要确定这个命题的条件p和结论q，进而改写成“若p，则q”的形式．

变式把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．

(1)奇数不能被2整除；

(2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1；

(3)两个相似三角形是全等三角形．

【解析】(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题．

(2)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a＝b＝1，是真命题．

(3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题．

考