专题01 空间向量与立体几何（考点清单，12题型解读）（解析版）_1_1.docx

清单01空间向量与立体几何

【考点题型一】空间向量及其线性运算

方法点拨：空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何方法的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形利用向量运算法则表示所需向量。

【例1】（23-24高二下·云南·开学考试）如图，在三棱柱中，（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】由题意可知：.故选：D

【变式1-1】（23-24高二上·河南驻马店·期末）在平行六面体中，是平行四边形的对角线的交点，为的中点，记，则等于（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】，

化简得：，故选：A.

【变式1-2】（23-24高二上·山东青岛·期末）已知四面体中，为中点，若，则（）

A．3B．2C．D．

【答案】D

【解析】根据题意，利用空间向量的运算法则，

可得：，

因为，所以，解得.故选：D.

【变式1-3】（23-24高二下·安徽淮北·开学考试）在四棱锥中，底面是正方形，是的中点，若，则（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】

.故选：C.

【考点题型二】空间向量的数量积运算

方法点拨：空间向量的数量积的定义表达式为，其他变式如夹角公式，模长公式或等都是解决立体几何问题的重要公式。在求解空间向量数量积的相关运算时，可结合平面向量的数量积运算进行理解与计算。

【例2】（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知空间向量，若，则的值为．

【答案】

【解析】由题知，因为，所以，

即，所以.

【变式2-1】（23-24高二下·云南保山·开学考试）已知是两个空间向量，若，，则＝.

【答案】

【解析】由题意得，，

则，即，则

则.

【变式2-2】（23-24高二下·湖南岳阳·开学考试）如图，四棱柱的底面是正方形，，且，则（）

A．4B．0C．D．

【答案】D

【解析】由题意，，

所以

.故选：D.

【变式2-3】（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）在三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的最小值是．

【答案】

【解析】如图，设，，

在中，，

，当且仅当时，等号成立.

【考点题型三】空间向量共线与三点共线问题

方法点拨：证明空间三点共线的三种思路：

对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线

（1）存在实数λ，使PA=λ

（2）对空间任一点O，有OP=

（3）对空间任一点O，有OP=

【例3】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知空间不共线的向量，，且，，，则一定共线的三点是（）

A．、、B．、、C．、、D．、、

【答案】C

【解析】因为，，，

对于A：因为，

则不存在任何，使得，所以、、不共线，故A错误；

对于B：因为，

则不存在任何，使得，所以、、不共线，故B错误；

对于C：因为，

所以，则、、三点共线，故C正确；

对于D：因为，

则不存在任何，使得，所以、、不共线，故D错误；故选：C

【变式3-1】（22-23高二下·福建莆田·阶段练习）已知不共线向量，，，，，，则一定共线的三个点是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】若，则存在唯一实数使得，

即，所以，无解，

所以不共线，则三点不共线，

若，则存在唯一实数使得，

即，所以，无解，

所以不共线，则三点不共线，，

若，则存在唯一实数使得，

即，所以，无解，

所以不共线，则三点不共线，

，所以，

又点为两向量的公共端点，所以三点共线.故选：D.

【变式3-2】（22-23高二上·新疆伊犁·期末）已知、、为空间三个不共面的向量，向量，，若与共线，则（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】因为、、为空间三个不共面的向量，向量，，

若与共线，设，即，

可得，解得，故.故选：D.

【变式3-3】（23-24高二上·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且．

（1）设向量，，，用、、表示向量、；

（2）求证：、、三点共线．

【答案】（1），；（2）证明见解析

【解析】（1）因为，则，

所以，

又因为，则，

所以；

（2）因为，

且，

所以，即、、三点共线．

【考点题型四】空间向量的共面问题

方法点拨：空间向量共面证明

1、证明点P在平面A