专题2-1圆的方程（考题猜想，常考易错11个考点40题专练）原卷版.docx

专题2-1圆的方程（考题猜想，常考易错11个考点40题专练）

1．圆的标准方程

(1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．

(2)确定圆的基本要素是圆心和半径，如图所示．

(3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点O为圆心、半径为r的圆．

2．点与圆的位置关系

(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝eq\r(?x0－a?2＋?y0－b?2).

位置关系

d与r的大小

图示

点P的坐标的特点

点在圆外

d＞r

(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2

点在圆上

d＝r

(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2

点在圆内

d＜r

(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2

3.圆的一般方程

(1)圆的一般方程的概念

当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．

其中圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，圆的半径为r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F).

(2)对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的讨论

①D2＋E2－4F＞0时表示圆．

②D2＋E2－4F＝0时表示点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).

③D2＋E2－4F＜0时，不表示任何图形．

4．直线与圆的三种位置关系

位置关系

交点个数

相交

有两个公共点

相切

只有一个公共点

相离

没有公共点

2.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断

位置关系

相交

相切

相离

公共点个数

两个

一个

零个

判定方法

几何法：设圆心到直线的距离d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))

d＜r

d＝r

d＞r

代数法：由

eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,?x－a?2＋?y－b?2＝r2))

消元得到一元二次方程的判别式Δ

Δ＞0

Δ＝0

Δ＜0

5．用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题；

第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论．

6．圆与圆的位置关系

两圆相交

有两个公共点

两圆相切

外切和内切

只有一个公共点

两圆相离

外离和内含

没有公共点

7.圆与圆位置关系的判定

(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：

位置关系

外离

外切

相交

内切

内含

图示

d与r1，r2的关系

d＞r1＋r2

d＝r1＋r2

|r1－r2|＜d＜r1＋r2

d＝|r1－r2|

0＜d＜|r1－r2|

(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(圆C1方程,圆C2方程))eq\o(――→,\s\up17(消元))一元二次方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0?相交，,Δ＝0?内切或外切，,Δ＜0?外离或内含.))

?圆的标准方程?圆的一般方程

?二元二次方程表示圆的条件?点与圆的位置关系

?关于点、直线对称的圆的方程?圆的切线方程

?直线与圆相交的性质?直线与圆的位置关系

?圆与圆的位置关系及其判定?相交弦所在直线的方程

?直线和圆的方程的应用

一．圆的标准方程（共2小题）

1．（2023秋?浦东新区校级月考）圆心在第一象限，半径为1，且同时与，轴相切的圆的标准方程为．

2．（2023秋?青浦区校级期中）以点为圆心，与直线相切的圆的方程是．

二．圆的一般方程（共2小题）

3．（2022秋?浦东新区校级期末）已知方程表示圆，则实数的取值范围是

A． B．

C．， D．，，

4．（2023?浦东新区校级一模）圆的圆心到直线的距离等于．

三．二元二次方程表示圆的条件（共1小题）

5．（2023秋?宝山区校级期中）方程表示一个圆，则的取值范围是．

四．点与圆的位置关系（共1小题）

6．（2023秋?浦东新区校级月考）若点在圆内，则实数的