专题03 第六章 两个计数原理及排列组合（10考点清单，知识导图+8个考点清单题型解读）（解析版）.docx

清单03第六章两个计数原理及排列组合

（9个考点梳理+题型解读+提升训练）

【考点题型一】两个计数原理综合

（1）定义：完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.

（2）定义：完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.

【例1】（2023高二下·湖北襄阳·期中）如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（）

A．48 B．18 C．24 D．36

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理列式计算作答.

【详解】正方体的两个顶点确定的直线有棱、面对角线、体对角线，

对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有（个）；

对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个，

不存在四个顶点确定的平面与体对角线垂直，

所以正方体中“正交线面对”共有（个）.

故选：D

【例2】（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）有两排座位，前排10个座位，后排10个座位，现安排2人就座，规定前排中间的两个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的坐法的种数是

【答案】276

【分析】分情况讨论，结合分类计数原理可得答案.

【详解】分为下列三类情况：

第一类：两人分别坐前后两排，共有种；

第二类：两人都坐后排，共有种；

第三类：两人都坐前排，共有三种情况，分坐左右4个座位有32种；都坐左边4个座位有6种；都坐右边4个座位也有6种；共有种；

由分类加法计数原理可得，共有种.

故答案为：276

【变式1-1】.（2024高二下·全国·专题练习）用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有（????）

A．16个 B．12个 C．9个 D．8个

【答案】D

【分析】利用分类计数原理分类讨论计算即可.

【详解】比2000大，故千位为2，3，4，

若千位为2，则个位为4，有（个）符合题意的四位数；

若千位为3，则个位为2或4，有（个）符合题意的四位数；

若千位为4，则个位为2，有（个）符合题意的四位数．

根据分类加法计数原理得，一共有（个）符合题意的四位数．

故选:D．

【变式1-2】.（22-23高二下·山东菏泽·阶段练习）实数2160所有正因数有个．

【答案】40

【分析】先分析出，从而利用分步乘法计数原理进行求解.

【详解】，故2160的正因数可表示为，

其中共5种情况，共4种情况，共2种情况，

由分步乘法计数原理可得，2160所有正因数有个.

故答案为：40

【考点题型二】排列数计算

排列数公式

①（连乘形式）：，，

②（阶乘形式），，

【例1】（多选）（22-23高二下·新疆喀什·阶段练习）下列等式中，正确的是（????）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】计算出排列数和组合数后判断.

【详解】，，，A正确；

，B错；

，，C正确；

，，D正确．

故选：ACD．

【例2】（22-23高二上·全国·课时练习）解下列方程或不等式．

(1)=2；

(2).

【答案】(1)n=5

(2)x=8

【分析】（1）根据条件，利用排列数公式即可求出结果；

（2）先利用排列数公式得到，从而得到，对根据排列数公式要求，求出的范围，进而求出结果.

【详解】（1）因为=2，

由，解得，

由原式可得，解得或或．

又因为，所以．

（2）因为6，

由，解得且，

由原不等式可得，

化简可得，解得，

又且，所以．

【变式2-1】.（22-23高二下·甘肃武威·阶段练习）解下列方程.

(1)；

(2).

【答案】(1)5

(2)或.

【分析】（1）根据排列数与组合数的计算公式，化简方程，可得答案；

（2）根据组合数的性质，化简方程，可得方程.

【详解】（1）因为，所以，

所以，解得.

（2）因为，所以，

即，…，，所以，

所以或，

解得或.

【变式2-2】.（22-23高二下·江苏徐州·阶段练习）（1）解方程：

（2）解不等式；

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）利用组合数的性质及计算公式解方程作答.

（2）利用排列数公式化简不等式，再求解不等式作答.

【详解】（1）由组合数性质及，得，

而，则，

因此，即，解得，

所以原方程的解为.

（2）由，得且，解得，

又，化简得，解得，因此，

所以不等式的解为.

【考点题型三】捆绑法和插空法

相邻捆绑，不相邻插空

【例1】（23-24高三下·山东菏泽·开学考试）一对夫妻带着3个小孩和一个老人，手拉着手围成一圈跳舞，3个小孩不相邻