专题3.1 椭圆（4类必考点）（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）.docx

专题3.1椭圆

TOC\o1-3\h\z\t正文,1

【考点1：椭圆的定义与标准方程】 1

【考点2：椭圆的焦点三角形问题】 3

【考点3：椭圆的几何性质】 5

【考点4：与椭圆有关的最值或范围问题】 7

【考点1：椭圆的定义与标准方程】

【知识点：椭圆的定义】

平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a0，c0，且a，c为常数：

(1)若ac，则集合P为椭圆．

(2)若a＝c，则集合P为线段．

(3)若ac，则集合P为空集．

【知识点：椭圆的标准方程】

(1)焦点在x轴上的椭圆的标准方程是eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c2＝a2－b2.

(2)焦点在y轴上的椭圆的标准方程是eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，焦点为F1(0，－c)，F2(0，c)，其中c2＝a2－b2.

(3)求椭圆标准方程的两种思路方法

①定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．

②待定系数法：这种方法是求椭圆方程的常用方法，具体思路是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)的形式．

1．（2023·全国·高二课堂例题）若点Mx,y满足方程x2+

A．x236+y232=1 B．

2．（2023春·陕西渭南·高二校考期中）椭圆x216+y225=1的两个焦点分别为F1、F2

A．10 B．12 C．16 D．20

3．（多选）（2023·江苏·高二假期作业）过已知圆内一个定点作圆C与已知圆相切，则圆心C的轨迹可能是（）

A．圆 B．椭圆

C．线段 D．射线

4．（2023秋·高二课时练习）已知a=5,c=2，焦点在y

5．（2023·江苏·高二假期作业）已知B，C是两个定点，BC=8，且△ABC的周长等于18．求这个三角形的顶点

6．（2023·全国·高二课堂例题）已知△ABC的两个顶点坐标分别是B0,6和C0,-6，边AB，AC所在直线的斜率的乘积是-4

【考点2：椭圆的焦点三角形问题】

【知识点：椭圆的焦点三角形问题】

(1)椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．

(2)以椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则

①|PF1|＋|PF2|＝2a.

②4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ.

③S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值为bc.

④焦点三角形的周长为2(a＋c)．

1．（2023秋·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）椭圆E:x24+y23=1(ab0)的两焦点分别为

A．π6 B．π2 C．π3

2．（2023·全国·高二专题练习）已知点P是椭圆x225+y29=1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1、

A．6 B．12 C．922 D

3．（2023·全国·高二专题练习）椭圆x212+y23=1的焦点为F1,F2

A．17 B．4 C．7 D．

4．（2023秋·高二课时练习）已知点P是椭圆x245+y220=1上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若PF1?

5．（2023·全国·高二专题练习）已知F1,F2分别是椭圆C:x29+y

6．（2023秋·高二单元测试）已知椭圆C:x225+y216=1的左、右焦点分别为F1,F2，

7．（2023秋·高二课时练习）已知椭圆的方程为x24+y23=1，若点P在椭圆上，F1，

8．（2023春·陕西西安·高二校考期末）已知点P在椭圆x249+y2

(1)P

(2)△P

【考点3：椭圆的几何性质】

【知识点：椭圆的几何性质】

标准方程

eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)

eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)

图形

性质

范围

－a≤x≤a，－b≤y≤b

－b≤x≤b，－a≤y≤a

对称性

对称轴：坐标轴；对称中心：(0,0)

顶点

A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2