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求解一些函数对称中心的策略

谈求解一些函数对称中心的策略

湖南衡阳王小国

【摘要】数学之美无处不在，有形的对称之美，眼睛就能发现，

而对于隐藏在某些函数下的对称之美，如何发现呢？通过寻找与证明

一些特殊函数的对称中心，有利于促进学生培养探索发现的能力，形

成严谨的逻辑推理能力，也潜移默化了数学之中美的教育.

【关键词】函数对称中心

法国雕塑艺术家罗丹说过，生活中不是缺少美,而是缺少发现美的

眼睛！在函数家族中，有一些函数，他们都存在对称中心，其函数图

像关于对称中心对称而和谐优美.而对称中心便是函数对称之美，和谐

之美的灵魂所在.本文，我们就来探求某些特别函数的对称中心.以期大

家对函数有更加深刻的认识，也为品味数学之美提供基础.

类型一、奇函数的对称中心

奇函数f(x)的对称中心为坐标原点(0,0)，满足f(x)+f(-x)=0.奇函数

是最简单，最基本的中心对称函数，许多中心对称函数都是由奇函数

通过平移变换衍生而来.

【评注】一般有对称中心的函数，都可通过某个奇函数经过平移

变换得到.

类型二、利用函数对称中心的表达式求解

【点评】此解法是从函数值域出发，由对称性得其对称中心的纵

坐标，进而求其横坐标.

【点评】解法一，是从平移角度出发，虽看似简单，但是需要极

强的代数式变形能力，一般较难达到，解法二，通过二次求导，简单

且容易掌握，不过涉及到一定的高等数学知识.

综上我们发现，对于函数的对称中心的求解策略，基本上归于四

类，第一类，通过对对称中心的解析式f(x)+f(2a-x)=2b进行探索，从

而求得其对称中心。第二类即通过发现其原始的奇函数模型，通过平

移变换即得新的中心对称函数。第三类是通过中心对称函数的对称性，

从定义域，值域出发，寻找到其对称中心的横坐标或纵坐标，并检验

求之。第四类为二次求导，（一般针对三次函数而言）求得其对称中

心的横坐标，进而求之得对称中心.实际上求导后，关于对称中心对称

的两点的切线斜率相等，以此也可以作为一种求解对称中心的方法.

来源：邹生书数学