专题6.5 平面向量的应用【七大题型】（举一反三）（人教A版2019必修第二册）（解析版）.docx

专题6.5平面向量的应用【七大题型】

【人教A版（2019）】

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【题型1用向量解决平面几何中的平行问题】 1

【题型2用向量解决平面几何中的垂直问题】 3

【题型3用向量解决夹角问题】 6

【题型4用向量解决线段的长度问题】 9

【题型5向量与几何最值】 12

【题型6向量在几何中的其他应用】 16

【题型7用向量解决物理中的相关问题】 20

【知识点1平面几何中的向量方法】

1．平面几何中的向量方法

(1)用向量研究平面几何问题的思想

向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将

几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作.

(2)向量在平面几何中常见的应用

①证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理：∥=-=0(≠0).

②证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：=0+=0.

③求夹角问题，利用夹角公式：==.

④求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：||=或|AB|=||=

.

(3)向量法解决平面几何问题的“三步曲”

第一步，转化：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

第二步，运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

第三步，翻译：把运算结果“翻译”成几何关系.

【题型1用向量解决平面几何中的平行问题】

【例1】（2023下·全国·高一专题练习）在△ABC中，点M，N分别在线段AB，AC上，AM=2MB，AN=2NC.求证：MN//BC.

【解题思路】设AB=a，AC=b，即可表示出BC，再由AM=23

【解答过程】证明：设AB=a，AC=

又AM=2MB，AN=2NC.所以

在△AMN中，MN

所以MN=23BC，即MN与

【变式1-1】（2023·全国·高一随堂练习）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点.求证：四边形EFGH为平行四边形.

??

【解题思路】用向量证明FE=GH，从而证明四边形EFGH

【解答过程】因为点E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点，

所以FE=

所以FE=

又因为FE与GH不共线，所以FE//GH，且

所以四边形EFGH为平行四边形.

【变式1-2】（2023·全国·高一专题练习）在四边形ABCD中，AB=DC，N，M是

求证：CN=

【解题思路】利用AB=DC，可得四边形ABCD是平行四边形，结合DN=

【解答过程】∵AB=DC，∴AB=DC且

∴四边形ABCD是平行四边形

∴CB=DA,∵DN=

又∵CM∥NA

∴四边形CNAM是平行四边形，∴CN

又CN与MA方向相同

∴CN=

【变式1-3】（2023下·全国·高一专题练习）已知在四边形ABCD中，AB//CD，求AD与BC分别满足什么条件时，四边形ABCD

(1)四边形ABCD是等腰梯形；

(2)四边形ABCD是平行四边形.

【解题思路】（1）根据向量共线的定义和梯形的判定条件可得结论；

（2）根据向量共线的定义和平行四边形的判定条件可得答案.

【解答过程】（1）解：AD=BC，且AD与BC

因为AB//CD，所以四边形ABCD

若四边形ABCD为等腰梯形，则AD=BC

（2）解：AD=BC（或AD

若AD=BC，即四边形的一组对边平行且相等，此时四边形ABCD

【题型2用向量解决平面几何中的垂直问题】

【例2】（2023下·安徽安庆·高一校考阶段练习）如图所示，以△ABC两边AB，AC为边向外作正方形ABGF和ACDE，M为BC的中点.

【解题思路】把AB,AC看做两组基底向量，

【解答过程】因为M是BC的中点，所以AM=

又因为EF=

所以AM

=

=

=

=1

所以AM⊥EF，即

【变式2-1】（2023下·河南信阳·高一校联考期中）已知在△ABC中，点M是BC边上靠近点B的四等分点，点N在AB边上，且AN=NB，设AM与CN相交于点P．记AB

??

(1)请用m，n表示向量AM；

(2)若n=2m，设m，n的夹角为θ，若cosθ

【解题思路】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可得；

（2）以m，n为基底表示出CN,AB，结合已知求CN

【解答过程】（1）BC=AC-

所以AM=

（2）由题意，CN=

∵n=2m，cosθ=

∴CN?

∴CN⊥

【变式2-2】（2023·高一课时练习）如图，正方形ABCD的边BC在正方形BEFG的边BG上，联结AG、CE，AG交DC于H．

（1）证明：A