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基本概念一阶方程类型1.直接积分法2.可分离变量3.齐次方程4.可化为齐次方程5.线性方程7.伯努利方程可降阶方程线性方程解的构造定理1;定理2定理3;定理4欧拉方程二阶常系数线性方程解的构造特性方程的根及其对应项f(x)的形式及其特解形式高阶方程待定系数法特性方程法有关本章内容提示zhouq

综合例题例1求一微分方程使其通解为解由求导得再求导再求导zhouq

例2解原方程可化为代入原方程得分离变量zhouq

两边积分所求通解为例3解原式可化为伯努利方程zhouq

原式变为一阶线性非齐方程对应齐方通解为运用常数变易法代入非齐方程得原方程的通解为zhouq

例4解将方程写成积分后得通解注意:这一段技巧性较高,核心是配导数的方程.zhouq

三种特殊的高阶微分方程的降阶法直接积分降阶，持续n次。zhouq

§4(6)高阶线性微分方程zhouq

一阶线性微分方程回想：对应齐次方程的通解非齐次方程的特解+通解=下面我们给出的重要结论是：对于全部的（更高阶的）线性微分方程，其通解都含有上述这种构造。----------这无疑为我们求解方程，指出了一种思路。zhouq

n阶线性微分方程的普通形式------齐次线性微分方程------非齐次线性微分方程不失普通性，我们重点讨论二阶线性微分方程与其对应的齐次线性方程为：zhouq

预备知识例如线性无关线性有关也线性有关zhouq

为二阶线性微分方程二阶线性齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程n阶线性微分方程特点：未知函数及其各阶导数都是一次幂称方程zhouq

本节只讨论二阶线性微分方程所得概念和结论很容易推广到高阶方程的情形一、线性微分方程的解的构造1.二阶齐次方程解的构造:问题:zhouq

例如线性无关线性有关zhouq

例如特别地:就是通解于是zhouq

2.二阶非齐次线性方程的解的构造:非齐线性方程的任何两个解之差是对应齐方程的解zhouq

解的叠加原理zhouq

的特解则即特解的实部是实部方程的特解特解的虚部是虚部方程的特解定理5zhouq

二、降阶法与常数变易法1.齐次线性方程求线性无关特解------降阶法代入(1)式,得则有zhouq

的一阶方程降阶法解得Liouville公式齐次方程通解为zhouq

2.非齐次线性方程通解求法------常数变易法设对应齐次方程通解为(3)设非齐次方程通解为设(4)zhouq

(5)(4),(5)联立方程组zhouq

积分可得非齐次方程通解为zhouq

补充内容可观察出一种特解特解y=1特解y=xmzhouq

三、小结重要内容线性方程解的构造；线性有关与线性无关；降阶法与常数变易法；作业P3312,4(奇)zhouq

特别地有:阐明：“有关性”反映的是整组函数之间的一种关系，是相对于区间而言的。证明函数组“线性有关”：----找出一组常数ki即可；证明函数组“线性无关”：----需证明：对于两个函数构成的函数组来说，例如zhouq