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初一数学立体图形竞赛教程含例题练习及答案

初一数学竞赛讲座

立体图形

空间形体的想象能力是小学生的一种重要的数学能力,而立体图形的学习

对培养这种能力十分有效。我们虽然在课本上已经学习了一些简单的立体图形,

如正方体、长方体、圆柱体、圆锥体,但有关立体图形的概念还需要深化,空间想

象

能力还需要提高。

将空间的位置关系转化成平面的位置关系来处理,是解决立体图形问题的

一种常用思路。

一、立体图形的表面积和体积计算

例1一个圆柱形的玻璃杯中盛有水,水面高2.5cm,玻璃杯内侧的底面积

是72cm2,在这个杯中放进棱长6cm的正方体铁块后,水面没有淹没铁块,这时水

面高多少厘米?

解:水的体积为72×2.5180(cm3),放入铁块后可以将水看做是底面积为

72-6×632(cm2)的柱体,所以它的高为180÷325(cm)。

例2下图表示一个正方体,它的棱长为4cm,在它的

上下、前后、左右的正中位置各挖去一个棱长为1cm的正

方体,问:此图的表面积是多少?

分析:正方体有6个面,而每个面中间有一个正方形

的孔,在计算时要减去小正方形的面积。各面又挖去一个

小正方体,这时要考虑两头小正方体是否接通,这与表面

积有关系。由于大正方体的棱长为4cm,而小正方体的棱

长为1cm,所以没有接通。每个小正方体孔共有5个面,在计算表面积时都要

考虑。

解:大正方体每个面的面积为4×4-1×115(cm2),

6个面的面积和为15×690(cm2)。

小正方体的每个面的面积为1×11(cm2),

5个面的面积和为1×55(cm2),

6个小正方体孔的表面积之和为5×630(cm2),

因此所求的表面积为90+30120(cm2)。

想一想,当挖去的小正方体的棱长是2cm时,表面积是多少?请同学们把它

计算出来。

例3正方体的每一条棱长是一个一位数,表面的每个正方形面积是一个

两位数,整个表面积是一个三位数。而且若将正方形面积的两位数中两个数码调

过来则恰好是三位数的十位与个位上的数码。求这个正方体的体积。

解:根据“正方体的每一条棱长是一个一位数,表面的每个正方形面积是一

个两位数,整个表面积是一个三位数”的条件,可知正方体的棱长有5,6,7,8,9

这五种可能性。

根据“将正方形面积的

两位数中两个数码调过来恰

好是三位数的十位上与个位

上的数码”,可知这个正方

体的棱长是7。如右表:

因此这个正方体的体积是7×7×7343。

例4一个长、宽和高分别为21cm,15cm和12cm的长方体,现从它的上面

尽可能大地切下一个正方体,然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体,

最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体,剩下的体积是多少立方

厘米?

解:根据长方体的长、宽和高分别为21cm,15cm和12cm的条件,可知第一

次切下尽可能大的正方体的棱长是12cm,其体积是12×12×121728(cm3)。

这时剩余立体图形的底面形状如图1,其高是12cm。这样,第二次切下尽可

能大的正方体的棱长是9cm,其体积是9×9×9729(cm3)。

这时剩余立体图形可分割为两部分:一部分的底面形状如图2,高是12cm;

另一部分的底面形状如图3,高是3cm。这样,第三次切下尽可能大的正方体的棱

长是6cm,其体积是6×6×6216(cm3)。

因此,剩下的体积是21×15×12-(123+93+63)3780cm3)。

说明:如果手头有一个泥塑的长方体和小刀,那么做出这道题并不难。但实

际上,我们并没有依赖于具体的模型和工具,这就是想象力的作用。我们正是在原

有感性经验的基础上,想象出切割后立体的形状,并通过它们各个侧面的形状和

大小表示出来。因此,对一个立体图形,应该尽可能地想到它的原型。