第12讲 相似三角形中的“手拉手”旋转型-【多题一解一题多解】冲刺2023年中考数学满分应对方法与策略（全国通用）（解析版）.docxVIP

第12讲相似三角形中的“手拉手”旋转型

【应对方法与策略】

模型展示：

如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.[来.Com]

【多题一解】

一、单选题

1．（2020·四川眉山·统考中考真题）如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（）

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】D

【分析】①四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，∠EAB、∠GAD与∠BAG的和均为90°，即可证明∠EAB与∠GAD相等；②由题意易得AD=DC，AG=FG，进而可得，∠DAG=∠CAF，然后问题可证；③由四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，可求证△HAF∽△FAC，则有，然后根据等量关系可求解；④由②及题意知∠ADG=∠ACF=45°，则问题可求证．

【详解】解：①∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形

∴∠EAG=∠BAD=90°

又∵∠EAB=90°-∠BAG，∠GAD=90°-∠BAG

∴∠EAB=∠GAD

∴①正确

②∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形

∴AD=DC，AG=FG

∴AC=AD，AF=AG

∴，

即

又∵∠DAG+∠GAC=∠FAC+∠GAC

∴∠DAG=∠CAF

∴

∴②正确

③∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，AF、AC为对角线

∴∠AFH=∠ACF=45°

又∵∠FAH=∠CAF

∴△HAF∽△FAC

∴

即

又∵AF=AE

∴

∴③正确

④由②知

又∵四边形ABCD为正方形，AC为对角线

∴∠ADG=∠ACF=45°

∴DG在正方形另外一条对角线上

∴DG⊥AC

∴④正确

故选：D．

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质综合运用，同时利用到正方形相关性质，解题关键在于找到需要的相似三角形进而证明．

二、填空题

2．（2021·四川成都·统考二模）如图，在一个的网格中，点都在格点上，，点P是线段AB上的一个动点，连接OP，将线段OA沿直线OP进行翻折，点A落在点C处，连接BC，以BC为斜边在直线BC的左侧（或下方）构造等腰直角三角形，则点P从A运动到B的过程中，线段BC的长的最小值为____________，线段BD所扫过的区域内的格点的个数为（不包含所扫过的区域边界上的点）____________．

【答案】????????4

【分析】根据仅当C在OB上时等号成立，由折叠性质可知OA=OC，从而求出BC的最小值；再证明，而且相似比为：1，从而得出点D在以为半径的圆弧上运动，由此画出图形即可得出格点的个数．

【详解】解：如图，连接OB，AD．

∵，

∴，

又∵仅当C在OB上时等号成立，

∴BC的最小值，

又∵，

∴BC的最小值，

∵和均为等腰直角三角形，

∴，，

又∵，，

∴，

∴，

∴，即，

∴如图：点D在以为半径的圆弧上运动，当点P与点A重合时，点D在处，当点P与点B重合时，点D在处，

∴线段BD所扫过的区域内的格点的个数为（不包含所扫过的区域边界上的点）4个．

故答案为：，4．

【点睛】本题主要考查了对称变换和旋转相似，解题关键是通过旋转相似证明，从而得出点D在以为半径的圆弧上运动，再根据画图得出结论．

三、解答题

3．（2022春·九年级课时练习）在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，点A为公共顶点，．如图②，若△ABC固定不动，把△ADE绕点A逆时针旋转，使AD、AE与边BC的交点分别为M、N点M不与点B重合，点N不与点C重合．

【探究】求证：．

【应用】已知等腰直角三角形的斜边长为4．

(1)的值为______．

(2)若，则MN的长为______．

【答案】(1)8

(2)

【探究】利用三角形外角的性质可证，又由，可证明结论；

【应用】（1）首先求出等腰直角三角形的直角边长，再由，得，则；

（2）由，得，由（1）知，得，从而得出答案．

【详解】（1）∵△ABC为等腰直角三角形，，

∴，同理，，

∵，

，

∴，∴；

（2）（1）∵等腰直角三角形的斜边长为4，

∴，∵，

∴，∴，∴，

故答案为：8；

（2）∵，∴，∵，

∴，∴，

故答案为：．

【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，利用前面探索的结论解决新的问题是解题的关键．

4．（2022秋·全国·九年级专题练习）【问题发现】如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为斜边BC上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BD与CE的数量关系是______，位置关系是______；

【探究证明】如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD