第15讲 解直角三角形中的“背靠背”模型-【多题一解一题多解】冲刺2023年中考数学满分应对方法与策略（全国通用）（解析版）.docxVIP

第15讲解直角三角形中的“背靠背”模型

【应对方法与策略】

【模型展示】

【多题一解】

一、单选题

1．（2020·广东深圳·模拟预测）如图所示，从一热气球的探测器A点，看一栋高楼顶部B点的仰角为30°，看这栋高楼底部C点的俯角为60°，若热气球与高楼的水平距离为30m，则这栋高楼高度是（）

A．60m B．40m C．30m D．60m

【答案】B

【分析】作AD⊥BC于D，由俯仰角得出∠ADB、∠CAD的值，则由AD的长及俯仰角的正切值得出BD、CD的长，BC的长即可求出．

【详解】过A作AD⊥BC，垂足为D在Rt△ABD中，∵∠BAD＝30°，AD＝30m，

∴BD＝AD?tan30°＝3010（m），在Rt△ACD中，∵∠CAD＝60°，AD＝30m，

∴CD＝AD?tan60°＝3030（m），∴BC＝BD+CD＝103040（m），

即这栋高楼高度是40m．

故选择：B．

【点睛】本题考查俯角与仰角的定义，要求学生能借助俯角与仰角构造直角三角形并会解直角三角形．

二、填空题

2．（2022·广西钦州·校考二模）如图，河宽CD为100米，在C处测得对岸A点在C点南偏西30°方向、对岸B点在C点南偏东45°方向，则A、B两点间的距离是_____米．（结果保留根号）

【答案】100+100

【分析】根据正切的定义求出AD，根据等腰直角三角形的性质求出BD，进而得到AB的长．

【详解】在Rt△ACD中，tan∠ACD＝，

则AD＝CD×tan∠ACD＝100×＝100（米），

在Rt△CDB中，∠BCD＝45°，

∴BD＝CD＝100（米），

∴AB＝AD+BD＝（100+100）米，

故答案为：（100+100）．

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用?方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

3．（2020·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°，测得底部B的俯角是60°，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是9米，那么该建筑物的高度BC为__________米（结果保留根号）．

【答案】

【分析】由题意可得∠CAD=30°，∠BAD=60°，然后分别解Rt△ADC和Rt△ADB，求出CD和BD的长，进一步即可求得结果．

【详解】解：由题意，得∠CAD=30°，∠BAD=60°，

则在Rt△ADC中，米，

在Rt△ADB中，米，

∴米．

故答案为：．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握解直角三角形的知识是解题关键．

4．（2020·湖北咸宁·中考真题）如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60°方向上，一艘轮船从北小岛A出发，由西向东航行到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是________．（结果保留一位小数，）

【答案】20.8

【分析】证明△ABP是等腰三角形，过P作PD⊥AB，从而求得PD的长即可．

【详解】解：过P作PD⊥AB于D，

∵AB=24，

∵∠PAB=90°-60°=30°，∠PBD=90°-30°=60°，

∴∠BPD=30°，

∴∠APB=30°，即∠PAB=∠APB，

∴AB=BP=24，

在直角△PBD中，PD=BP?sin∠PBD=24×=≈20.8.

故答案为：20.8.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出垂线，转化为直角三角形的计算是解决本题的关键．

5．（2020·四川乐山·中考真题）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯的倾斜角为，在自动扶梯下方地面处测得扶梯顶端的仰角为，、之间的距离为4．则自动扶梯的垂直高度=_________．（结果保留根号）

【答案】

【分析】先推出∠ABC=∠BAC，得BC=AC=4，然后利用三角函数即可得出答案．

【详解】∵∠BAC+∠ABC=∠BCD=60°，∠BAC=30°，

∴∠ABC=30°，

∴∠ABC=∠BAC，

∴BC=AC=4，

在Rt△BCD中，BD=BCsin60°=4×=，

故答案为：．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角函数，得出BC=AB=4是解题关键．

三、解答题

6．（2021·湖南永州·统考中考真题）已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，边角总满足关系式：．

（1）如图1，若，求b的值；

（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池中建一座小型景观桥（如图2所示），若米，米，，求景观桥的长度．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）过C作于点D，解直角三角形即可；

（2）由已知条件可知，求得，勾股定理求得，解即可求得的长

【详解】（1）如图，过C作于点D

,

即

（2），，,