第五讲 二次函数与特殊四边形存在问题（专项练习）（解析版）.docxVIP

2023年中考数学典型例题系列之

函数篇

第五讲：二次函数与特殊四边形存在问题专项练习

（解析版）

1．（2022·山东日照·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，直线与抛物线在第一象限交于点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接，若过点O的直线交线段于点P，将三角形的面积分成的两部分，请求出点P的坐标；

(3)若Q是直线上方抛物线上一个动点（不与点A、C重合），当的面积等于的面积时，求出Q点的坐标；

(4)在抛物线的对称轴上有一动点H，在抛物线上是否存在一点N，使以点A、H、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)点或；

(3)或；

(4)或或．

【分析】（1）将点、的坐标代入抛物线表达式即可求解；

（2）OP将的面积分成1：2的两部分，则或，由或，可得：或，再求解直线为，即可求解；

（3）如图，先求解，可得，把直线向上平移4个单位可得一次函数的解析式为：，则直线与抛物线的交点满足，再建立方程组可得答案；

（4）如图，先求解抛物线的对称轴为：直线，设，，再分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，则，再利用中点坐标公式列方程求解即可．

【详解】（1）解：将点、的坐标代入抛物线表达式得：

，解得：，

∴抛物线的解析式为：；

（2）如图，点、，

∴，

将的面积分成的两部分，

∴或，

∴或，

解得：或，

设直线为，

∴，

解得：，

∴直线为，

当时，则，当时，则，

∴点或；

（3）如图，由（2）可得直线为，

当时，，则，此时，

把直线向上平移4个单位可得一次函数的解析式为：，

则直线与抛物线的交点满足，

∴，解得：或，

∴或；

（4）如图，，，

∵抛物线为：，

∴抛物线的对称轴为：直线，

设，，

当为对角线时，则，

解得：，则，

当为对角线时，如图，

则，解得：，

∴，

∴，

当为对角线时，则，

解得：，

∴，

∴，

综上：的坐标为：或或．

【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，二次函数与图形面积以及二次函数与特殊四边形问题，熟练的利用二次函数的性质以及中点坐标公式解题是关键．

2．（2022·山东济南·济南育英中学校考模拟预测）平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点D，直线与抛物线交于点C．

(1)若，直线l过点B．

①连接，求的面积；

②抛物线上两点M，N，点M在点N的左侧，且都在直线l上方，于点G，于点H，当四边形是正方形时，求点N的横坐标；

(2)已知点，连接，直线l交分别于点E，F，且直线l与抛物线只有一个公共点C，若此时，求a的值．

【答案】(1)①；②点N的横坐标为

(2)

【分析】（1）①求出直线l的解析式和二次函数的解析式，再求△BCD的面积即可；

②设直线的解析式为，设，联立方程组，由根与系数的关系求，设直线MN与y轴的交点为T，直线l与y轴的交点为L，过点T作交于K点，则，可得，再由，即，求出m的值，即可求N点坐标；

（2）联立方程组，整理得，由可得，分别求出直线的解析式为，直线BQ的解析式为，然后求出E点的横坐标为，F点的横坐标为，过点E作轴交于P点，过点F作轴交于J点，由对称性可知，则，，，再由，可得，即可求a的值．

【详解】（1）解：①令，则，

∴或，

∴，

令，则，

∴，

∵，在直线上，

∴，

解得，

∴，

∵在上，

∴，

∴，

∴，

∵直线与y轴的交点为，

∴；

②∵，

设直线的解析式为，

∵M、N在直线l的上方，

∴，

设，

联立方程组，

整理得，

∴，

∴，

∴，

设直线与y轴的交点为T，直线l与y轴的交点为L，过点T作交于K点，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵四边形是正方形，

∴，

∴，

解得或，

∵，

∴，

∴直线的解析式，

∴，

解得或，

∴；

（2）解：设直线l的解析式为，

联立方程组，

整理得，

∵直线l与抛物线只有一个公共点，

∴，

∴，

∵，

设直线的解析式为，

∴，

解得，

∴，

联立方程组，

解得，

∴E点的横坐标为，

∵，

设直线BQ的解析式为，

∴，

解得，

∴，

联立方程组，

解得x，

∴F点的横坐标为，

过点E作轴交于P点，过点F作轴交于J点，

∵A、B关于y轴对称，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，，

∵，

∴

，

∴，

∵，

∴．

【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，待定系数法求函数的解析式方法，直角三角形的性质是解题的关键．

3．（2022·山东菏泽·统考二模）如图，抛物线经过、两点，与y轴交于点C，D是抛物线上一动点，设点D的横坐标为，连结．

(1)求抛物线的函数表达式．

(2)当的面积等于的面积的时，求m的值．

(3)当时，若点M是x轴上一