第五讲 二次函数与相似三角形存在问题（专项练习）（解析版）.docxVIP

2023年中考数学典型例题系列之

函数篇

第五讲：二次函数与相似三角形存在问题专项练习（解析版）

1．（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴负半轴交于点，连接，且．

(1)求抛物线解析式．

(2)点是抛物线上的一点．

①当点在第一象限时，过点作轴交于点，过点作轴交于点，连接，当和相似时，求点的坐标．

②当时，求点的坐标．

【答案】(1)

(2)①或；②或

【分析】（1）先根据直线的解析式求出点和的坐标，再利用待定系数法求抛物线的解析式；

（2）①设出点的横坐标为，用的代数式表示和，然后根据相似三角形的两种情况，由两组对应角相等，利用相等的三角函数值列出关于的方程即可；

②过点作平分，交拋物线于点，过点作轴，交于点，可得到，利用勾股定理和等腰三角形的性质得到，可确定点G的坐标，进而求出直线BG与抛物线的交点坐标，便可得出其中一个满足条件的点坐标；利用翻折，设与轴的交点为点，关于轴的对称点为，进而求得直线BN与抛物线的交点坐标，便可得出另一个满足条件的点坐标．

【详解】（1）解：∵直线与轴，轴分别交于、两点，

当时，，

∴，，

当时，得，解得：，

∴，，

∵，设，，

∵，

∴，

解得：，（舍去），

∴，

∴，

∵抛物线经过、两点，与轴负半轴交于点，

∴，

解得：．

∴拋物线的解析式为．

（2）①设，

∵轴交于点，轴交于点，

∴，

∴，，

∴，

∵，

∴和相似分以下两种情况：

当时，

∴，

∴，

解得，

∴，

∴；

当时，，

∴，

解得：，

∴，

∴．

综上所述，当和相似时，点的坐标为或．

②如图，过点作平分，交拋物线于点，

∴，

∴，

过点作轴，交于点，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴点G的坐标为，

又∵，

设直线BG的解析式为，

∴，

∴直线BG的解析式为，

由，

解得：，，

∴；

将直线沿轴翻折，交拋物线于点，

∴，

设与轴的交点为点，关于轴的对称点为，

∵直线BG的解析式为，

当时，，

∴，

∴，

∴设直线BN的解析式为，

∴

∴，

由，

解得：，，

∴．

综上所述，当时，点坐标为或．

【点睛】本题考查二次函数的综合应用，运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，三角函数的应用，角平分线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，根据解析式表示点的坐标，再由点的坐标表示线段的长，利用等量关系列方程或方程组求解，利用方程组确定两个函数图像的交点．分类讨论的应用是解题的关键．

2．（2022·内蒙古包头·模拟预测）如图，已知正方形的边，分别在x轴和y轴的正半轴上，点B的坐标为．二次函数的图象经过点A，B，且x轴的交点为E，F．点P在线段上运动，过点O作于点H．直线交直线于点D，连接．

(1)求，的值及点E和点F的坐标；

(2)在点P运动的过程中，当与以A，B，D为顶点的三角形相似时，求点P的坐标；

(3)当点P运动到的中点时，能否将绕平面内某点旋转后使得的两个顶点落在x轴上方的抛物线上？若能，请直接写出旋转中心M的坐标；若不能，请说明理由．

【答案】(1)，，，；

(2)当与以A，B，D为顶点的三角形相似时，点P的坐标为或或；

(3)旋转中心M的坐标为或或或．

【分析】（1）先由点B的坐标和正方形的性质得到点A的坐标，然后将点A和点B的坐标代入函数解析式，求得b和c的值，得到二次函数的解析式，再令求得点E和点F的坐标；

（2）分三种情况讨论，①当点P在线段上，由结合三角形相似得到与全等，求得，即可得到点P的坐标；②点P在线段上，通过与相似，以及和全等即可求得点P的坐标；③点P在线段上通过与相似，以及与全等得到点P的坐标；

（3）分四种情况讨论，设绕点M顺时针旋转得到，且点、两点在抛物线上，设，则，，然后将、代入抛物线的解析式，求得x、y的值，最后通过即可求得点M的坐标．同法可求得其他情况下点M的坐标．

【详解】（1）解：∵正方形的边，分别在x轴和y轴的正半轴上，点B的坐标为，

∴A，C，

将点A，B分别代入，得

，解得：，

∴二次函数的解析式为，

令，则，

解得：或，

∴点E，F；

（2）解：∵四边形是正方形，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

设，

①当点P在线段上时，如图所示，

则，，

∵与相似，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴点P的坐标为；

②点P在线段上时，如图所示，

∵，，

∴，

∵与相似，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

解得：（舍）或，

∴点P的坐标为；

③点P在线段上时，如图所示，

∵，，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

解得：或（舍），

∴点P的坐标为；

综上所述，当与以A，B，D为顶点的三角形相似时，点P的坐标为或或；

（3）解：①绕点顺时针旋转时，点A与点B重合，点O与点