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《正态分布》同步学案

情境导入

高斯是一个伟大的数学家,一生中的重要贡献不胜枚举.现今德国的10马克纸币上印有高斯的头像和正态分布的曲线,这就传达了一个信息:在高斯的科学贡献中,对人类文明影响最大的是“正态分布”.那么,什么是正态分布?正态分布的曲线有什么特征?

自主学习

自学导引

1.正态分布、正态曲线及其特点

(1)正态分布与正态曲线

函数________,其中为参数)为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线.若随机变量的概率分布密度函数为,则称随机变量服从_______,记为_______.特别地,当_______时,称随机变量服从标准正态分布.

(2)正态曲线的特点

①曲线是单峰的,它关于_______对称；

②曲线在处达到峰值_______;

③当无限增大时,曲线无限接近_______.

(3)参数和对正态曲线形状的影响

①当参数取固定值时,正态曲线的位置由_______确定,且随着的变化而沿_______平移.

②当取定值时,因为正态曲线的峰值与成反比,而且对任意的,正态曲线与轴之间的区域的面积总为1.因此,当较小时,峰值高,正态曲线“______”,表示随机变量的分布比较_______;当较大时,峰值低,正态曲线“_______”,表示随机变量的分布比较_______.

(4)参数和反映正态分布的特征

参数反映了正态分布的_______,反映了随机变量的分布相对于均值的_______.

(5)若,则_______,_______.

2.正态分布的原则

假设,则对给定的是一个只与有关的定值.特别地,

_______;

_______;

_______.

在实际应用中,通常认为服从于正态分布的随机变量只取______中的值,这在统计学中称为原则

答案

1.(1)正态分布

(2)①直线②③轴

(3)①轴②瘦高集中矮胖分散

(4)集中位置离散程度

(5)

2.0.68270.95450.9973

预习测评

1.已知随机变量服从正态分布,若,则______.

2.某学校有100人参加暑期社会实践,实践结束时的综合能力测试成绩近似服从正态分布,若,则综合能力测试成绩在120分以上的人数大约为_______.

3.已知随机变量服从正态分布,且,则_______.

4.已知,由,,写出下列各概率值:

(1);

(2).

答案:

1.3

解析:依题意可知.

2.15

解析:因为近似服从正态分布,

所以.

由正态分布的对称性可知,所以综合能力测试成绩在120分以上的人数大约为.

3.

解析:因为,且0,所以,所以.

4.(1)根据对称性知0.3413.

(2)0.4772.

新知探究

探究点1正态曲线与正态分布

知识详解

1.函数,其中为参数)为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线.若随机变量的概率分布密度函数为,则称随机变量服从正态分布,记为.

特别地,当时,称随机变量服从标准正态分布.

2.正态曲线的特点

(1)曲线在轴的上方,与轴不相交;

(2)曲线是单峰的,它关于直线对称;

(3)曲线在处达到峰值;

(4)当无限增大时,曲线无限接近轴;

(5)轴与正态曲线之间的区域面积恒等于1.

3.参数和对正态曲线形状的影响

(1)当取固定值时,正态曲线的位置由确定,且随着的变化而沿轴平移.

(2)当取定值时,因为正态曲线的峰值与成反比,而且对任意的,正态曲线与轴之间的区域的面积总为1.因此,当较小时,峰值高,正态曲线“瘦高”,表示随机变量的分布比较集中;当较大时,峰值低,正态曲线“矮高”,表示随机变量的分布比较分散.

4.参数和反映正态分布的特征

参数反映了正态分布的集中位置,反映了随机变量的分布相对于均值的离散程度.

5.正态分布的均值与方差

若,则.

典例探究

例1如图所示是一个正态曲线,试根据该图象写出其正态密度函数的解析式,求出随机变量的均值和方差.

解析:正态曲线的对称轴对应的的取值即为均值;正态曲线是单峰曲线,根据最大值是,求出.

答案:从给出的正态曲线的图象可知,该正态曲线关于直线对称,最大值是,所以,解得.所以正态密度函数的解析式是.

所以随机变量的样本均值为,样本方差为.

规律总结求正态密度函数的两个方法:

(1)图解法;明确顶点坐标即可,其横坐标为样本的均值,纵坐标为.

(2)待定系数法:求出即可.

变式训练1某市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成绩服从正态分布,

其正态密度函数为,则下列命题中不正确的是()

A.该市这次考试的数学平均成绩为80分

B.分数在120