2024八年级数学下册第2章四边形练素养2特殊平行四边形间的关系的综合应用习题课件新版湘教版.pptxVIP

2.特殊平行四边形间的关系的综合应用

菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，其性质除具有平行四边形的一切性质外，还都有各自的性质.它们的判定方法也各不相同，它们的性质和判定的应用很广泛，在应用中常常将不同的特殊平行四边形综合在同一题中进行考查，因此需正确区分各种特殊平行四边形的性质和判定.名师点金

1.[2023·鄂州]如图，点E是矩形ABCD的边BC上的一点，且AE＝AD.(1)尺规作图：作∠DAE的平分线AF，交BC的延长线于点F，连接DF(保留作图痕迹，不写作法)；【解】如图所示：应用1菱形与矩形的综合应用

(2)试判断四边形AEFD的形状，并说明理由.【解】四边形AEFD是菱形，理由如下：∵矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAF＝∠AFE.∵AF平分∠DAE，∴∠DAF＝∠EAF，∴∠EFA＝∠EAF，∴AE＝EF.∵AE＝AD，∴AD＝EF.∵AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形.又∵AE＝AD，∴平行四边形AEFD是菱形.

2.[2023·厦门双十中学期中]如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE∥BD，过点D作DE∥AC交AE于点E.(1)求证：四边形AODE是矩形；

【证明】∵AE∥BD，DE∥AC，∴四边形AODE是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∴平行四边形AODE为矩形.

(2)若AB＝2，∠ABC＝60°，求四边形AODE的面积.?

3.[2023·娄底三中期中]如图，矩形ABCD中，∠ABD，∠CDB的平分线BE，DF分别交边AD，BC于点E，F.(1)求证：四边形BEDF是平行四边形.

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(2)当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由.【解】当∠ABE＝30°时，四边形BEDF是菱形.∵BE平分∠ABD，∴∠ABD＝2∠ABE＝60°，∠EBD＝∠ABE＝30°.∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，

∴∠EDB＝90°－∠ABD＝30°，∴∠EDB＝∠EBD＝30°，∴EB＝ED.又∵四边形BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是菱形.

应用2菱形与正方形的综合应用4.[2022·遵义]将正方形ABCD和菱形EFGH按照如图所示摆放，顶点D与顶点H重合，菱形EFGH的对角线HF经过点B，点E，G分别在AB，BC上.(1)求证：△ADE≌△CDG；

【证明】∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGH是菱形，菱形EFGH的对角线HF经过点B，∴AD＝CD，ED＝GD，∠ADB＝∠CDB，∠EDB＝∠GDB.∴∠ADB－∠EDB＝∠CDB－∠GDB，即∠ADE＝∠CDG.

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(2)若AE＝BE＝2，求BF的长.【解】如图，过点E作EQ⊥DF于点Q，则∠EQB＝90°.∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AD＝AB＝AE＋BE＝2＋2＝4，∠EBQ＝∠CBD＝45°.

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应用3矩形与正方形的综合应用5.如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交对角线AC于点M，ME⊥AB，MF⊥BC，垂足分别是E，F，判定四边形MEBF的形状，并证明你的结论.

【解】四边形MEBF是正方形.证明如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°.∵ME⊥AB，MF⊥BC，∴∠MEB＝∠MFB＝90°.∴四边形MEBF是矩形.又∵BM是∠ABC的平分线，∴ME＝MF.∴矩形MEBF是正方形.

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【证明】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABE＝90°.∵折叠纸片，使点A落在BC上的点E处，∴AB＝BE，∠BEF＝∠A＝90°.∴四边形ABEF是正方形.

(2)四边形GHDF是黄金矩形吗？请说明理由.?

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应用4菱形、矩形、正方形的综合应用7.[新考法逆向思维法]如图，在△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.(1)探究OE与OF的数量关系并加以证明.

【解】OE＝OF.证明如下：∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF.又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF.∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC.∴EO＝CO，FO＝CO.∴OE＝OF.

(2)连接BE，当点O在边AC上运动时，四边形BCFE能否为菱形？若能，请证明；若不能，请说明理由.【解】不能为菱形.理由如下：如图，连接BF，交EC于点G.

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(3)连接AE，AF，当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由.【解】当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形.理由：当点O运动到AC的中点时，AO＝CO.又∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形.∵FO＝CO，∴AO＝CO＝EO＝FO