专题03 全等模型-手拉手模型（解析版）.docxVIP

专题03全等模型-手拉手模型

全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（手拉手（旋转）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.手拉手模型（三角形）

【模型解读】

将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。

公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。

对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得。

【常见模型及证法】

（等边）

（等腰直角）

（等腰）

例1．（2022秋·吉林松原·九年级统考期中）如图，点O是等边三角形ABC内的一点，，将△BOC绕点C顺时针旋转60°得△ADC，连接OD．(1)当时，°；(2)当时，°；(3)若，，，则OA的长为．

【答案】(1)40；(2)60；(3)

【分析】（1）证明△COD是等边三角形，得到∠ODC=60°，即可得到答案；

（2）利用∠ADC-∠ODC求出答案；（3）由△BOC≌△ADC，推出∠ADC=∠BOC=150°，AD=OB=8，根据△COD是等边三角形，得到∠ODC=60°，OD=，证得△AOD是直角三角形，利用勾股定理求出．

【详解】（1）解：∵CO=CD，∠OCD=60°，∴△COD是等边三角形；∴∠ODC=60°，

∵∠ADC=∠BOC=，∴∠ADC-∠ODC=40°，故答案为：40；

（2）∵∠ADC=∠BOC=，∴∠ADC-∠ODC=60°，故答案为：60；

（3）解：当，即∠BOC=150°，∴△AOD是直角三角形．

∵△BOC≌△ADC，∴∠ADC=∠BOC=150°，AD=OB=8，

又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°，OD=，∴∠ADO=90°，

即△AOD是直角三角形，∴,故答案为：．

【点睛】本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力．

例2．（2022·湖北武汉·八年级期末）已知ABC中，∠BAC=60°，以AB和BC为边向外作等边ABD和等边BCE．(1)连接AE、CD，如图1，求证：AE=CD；(2)若N为CD中点，连接AN，如图2，求证：CE=2AN

(3)若AB⊥BC，延长AB交DE于M，DB=，如图3，则BM=_______（直接写出结果）

【答案】(1)见解析(2)见解析(3)

【分析】（1）先判断出∠DBC=∠ABE，进而判断出△DBC≌△ABE，即可得出结论；

（2）先判断出△ADN≌△FCN，得出CF=AD，∠NCF=∠AND，进而判断出∠BAC=∠ACF，即可判断出△ABC≌△CFA，即可得出结论；（3）先判断出△ABC≌△HEB(ASA)，得出，，再判断出△ADM≌△HEM(AAS)，得出AM=HM，即可得出结论．

（1）解：∵△ABD和△BCE是等边三角形，∴BD=AB，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，

∴∠ABD+∠ABC=∠CBE+∠ABC，∴∠DBC=∠ABE，∴△ABE≌△DBC（SAS），∴AE=CD；

（2）解：如图，延长AN使NF=AN，连接FC，

∵N为CD中点，∴DN=CN，

∵∠AND=∠FNC，∴△ADN≌△FCN(SAS)，∴CF=AD，∠NCF=∠AND，

∵∠DAB=∠BAC=60°∴∠ACD+∠ADN=60°

∴∠ACF=∠ACD+∠NCF=60°，∴∠BAC=∠ACF，

∵△ABD是等边三角形，∴AB=AD，∴AB=CF，

∵AC=CA，∴△ABC≌△CFA(SAS)，∴BC=AF，

∵△BCE是等边三角形，∴CE=BC=AF=2AN；

（3）解：∵△ABD是等边三角形，∴，∠BAD=60°，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°－∠BAC=30°，∴，

如图，过点E作EH//AD交AM的延长线于H，

∴∠H=∠BAD=60°，∵△BCE是等边三角形，∴BC=BE，∠CBE=60°，

∵∠ABC=90°，∴∠EBH=90°－∠CBE=30°=∠ACB，

∴∠BEH=180°－∠EBH－∠H=90°=∠ABC，

∴△ABC≌△HEB(ASA)，∴，，∴AD=EH，

∵∠AMD=∠HME，∴△ADM≌△HEM(AAS)，∴AM=HM，

∴

∵，，∴．故答案为：．

【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三