专题04 二次函数与图形问题（解析版）.docxVIP

专题04二次函数与图形问题

考法一：定长围面积最大

1．（2022·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．

(1)若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？

(2)矩形框架ABCD面积最大值为______平方厘米．

【答案】(1)AB的长为8厘米或12厘米．

(2)150

【分析】（1）设AB的长为x厘米，则有厘米，然后根据题意可得方程，进而求解即可；

（2）由（1）可设矩形框架ABCD的面积为S，则有，然后根据二次函数的性质可进行求解．

【详解】（1）解：设AB的长为x厘米，则有厘米，由题意得：

，

整理得：，

解得：，

∵，

∴，

∴都符合题意，

答：AB的长为8厘米或12厘米．

（2）解：由（1）可设矩形框架ABCD的面积为S平方厘米，则有：

，

∵，且，

∴当时，S有最大值，即为；

故答案为：150．

【点睛】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是找准题干中的等量关系．

2．（2022·山东威海·统考中考真题）某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长25m，木栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入门）．求鸡场面积的最大值．

【答案】288m2

【分析】设与墙平行的一边为xm（x≤25），则与墙垂直的一边长为m，设鸡场面积为ym2，根据矩形面积公式写出二次函数解析式，然后根据二次函数的性质求出最值即可．

【详解】解：设与墙平行的一边为xm（x≤25），则与墙垂直的一边长为m，设鸡场面积为ym2，

根据题意，得，

∴当x=24时，y有最大值为288，

∴鸡场面积的最大值为288m2．

【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确列出二次函数解析式．

3．如图，某养殖户利用一面长20m的墙搭建矩形养殖房，中间用墙隔成两间矩形养殖房，每间均留一道1m宽的门.墙厚度忽略不计，新建墙总长34m，设AB的长为x米，养殖房总面积为S.

(1)求养殖房的最大面积.

(2)该养殖户准备400元全部用于购买小鸡和小鹅养殖，小鸡每只5元，小鹅每只7元，并且小鸡的数量不少于小鹅数量的2倍.该养殖户有哪几种购买方案？

【答案】(1)108平方米

(2)5种购买方案.

小鹅

0

5

10

15

20

小鸡

80

73

66

59

52

【分析】（1）根据矩形的面积列出函数解析式，再根据函数的性质求最大值；

（2）设买小鸡a只，小鹅b只，根据5a＋7b＝400，且a≥2b，求出a，b的整数解即可．

【详解】（1）解：由题意得：

S＝x（34﹣3x+2）＝x（36﹣3x）＝﹣3x2+36x＝﹣3（x﹣6）2+108，

∵﹣3＜0，

∴当x＝6时，S有最大值，最大值为108，

∴养殖房的最大面积为108平方米；

（2）设买小鸡a只，小鹅b只，

则5a+7b＝400，且a≥2b，

∴a＝＝80﹣≥2b，

则b≤，且b≥0，

又∵a，b都为非负整数，

∴b可为0，5，10，15，20，

此时a对应为80，73，66，59，52，

∴该养殖户共有5种购买方案：方案1：小鸡80只，小鹅0只；方案2：小鸡73只，小鹅5只；方案3：小鸡66只，小鹅10只；方案4：小鸡59只，小鹅15只；方案5：小鸡52只，小鹅20只．

【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是根据矩形的面积列出函数解析式．

4．（2022·江苏无锡·统考中考真题）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．

(1)若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值；

(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？

【答案】(1)x的值为2m；

(2)当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m2

【分析】（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形养殖场的总面积为36，列一元二次方程，解方程即可求解；

（2）设矩形养殖场的总面积为S，列出矩形的面积公式可得S关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可．

【详解】（1）解：∵BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，

∴CD=2x，

∴BD=3x，AB=CF=DE=(24-BD)=8-x，

依题意得：3x(8-x)=36，

解得：x1=2，x2=6(不合题意，舍去)，

此时x的值为2m；

；

（2）解：设矩形养殖场的总面积为S，

由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，

∵墙的长度为10，

∴0＜3x＜10，

∴0＜x＜，

∵-30，

∴x＜4时，S随着x的增大而增大