专题07 立体几何小题综合（原卷版）_1.docxVIP

专题07立体几何小题综合

冲刺秘籍

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欧拉定理(欧拉公式)

(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).

（1）=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为的多边形，则面数F与棱数E的关系：；

（2）若每个顶点引出的棱数为，则顶点数V与棱数E的关系：.

空间的线线平行或垂直

设，，则

；

.

夹角公式

设，b＝，则

.

异面直线所成角

=

（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）

直线与平面所成角，(为平面的法向量).

二面角的平面角

（，为平面，的法向量）.

异面直线间的距离

(是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).

点到平面的距离

（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.

冲刺训练

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一、单选题

1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知是三条不同的直线，是三个不重合的平面，则下列说法错误的是（????）

A．若，则．

B．若与异面，，则存在，使得．

C．若，则．

D．若，则．

2．（2023·浙江·校联考模拟预测）如图是我国古代量粮食的器具“升”，其形状是正四棱台，上、下底面边长分别为20cm和10cm，侧棱长为cm．“升”装满后用手指或筷子沿升口刮平，这叫“平升”．则该“升”的“平升”约可装（????）

??

A．1.5L B．1.7L C．2.3L D．2.7L

3．（2023·福建宁德·校考二模）在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线和所成角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

4．（2023·山东泰安·统考模拟预测）鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的两个相对三角形面间的距离为（????）

??

A． B．

C． D．

5．（2023·广东佛山·统考模拟预测）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是a，且，，E为的中点，则点E到直线的距离为（????）

??

A． B． C． D．

6．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）车木是我国一种古老的民间手工工艺，指的是用刀去削旋转着的木头，可用来制作家具和工艺品，随着生产力的进步，现在常借助车床实施加工．现要加工一根正四棱柱形的条木，底面边长为，高为．将条木两端夹住，两底面中心连线为旋转轴，将它旋转起来，操作工的刀头逐步靠近，最后置于离旋转轴处，沿着旋转轴平移，对整块条木进行加工，则加工后木块的体积为（????）．

A． B． C． D．

7．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长均为2，活动弹子在线段上移动（包含端点），弹子分别固定在线段的中点处，且平面，则当取最大值时，多面体的体积为（????）

??

A． B． C． D．

8．（2023·河北张家口·统考三模）风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源.如图，是某高一年上级学生制作的一个风筝模型的多面体为的中点，四边形为矩形，且，当时，多面体的体积为（????）

??

A． B． C． D．

9．（2023·广东梅州·统考三模）在马致远的《汉宫秋》楔子中写道：“毡帐秋风迷宿草，穹庐夜月听悲笳.”毡帐是古代北方游牧民族以为居室、毡制帷幔.如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥的高为4，侧面积为，圆柱的侧面积为，则该毡帐的体积为（????）

????

A． B． C． D．

10．（2023·浙江·校联考模拟预测）在三棱锥中，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积的最小值为（????）

A． B．

C． D．

二、多选题

11．（2023·山东·山东省实验中学校考二模）如图，在矩形中，，，为的中点，现分别沿、将、翻折，使点、重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则（????）

??

A．

B．三棱锥的体积为

C．三棱锥外接球的半径为

D．直线与所成角的余弦值为

12．（2023·山东潍坊·三模）如图所示的几何体，是将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点，作平行于底面的截面所得，且其所有棱长均为1，则（????）

??

A．直线与直线所成角为 B．直线与平面所成角为

C．该几何体的体积为 D．该几何体中，二面角的余弦值为

13．（2023·广东梅州·统考三模）已知正方体的棱长为2，为四边形的中心，为线段上的一个动点，为线段上一点，若三棱锥的体积为定值，则（????）

A． B．

C． D．

14．（2023·云南曲靖·校考三模）如图，棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，则（????）

??

A．直线为异面直线

B．平面

C．过点的平面截正