专题07 立体几何小题综合(原卷版)_1.docxVIP

专题07 立体几何小题综合(原卷版)_1.docx

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专题07立体几何小题综合

冲刺秘籍

冲刺秘籍

欧拉定理(欧拉公式)

(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).

(1)=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为的多边形,则面数F与棱数E的关系:;

(2)若每个顶点引出的棱数为,则顶点数V与棱数E的关系:.

空间的线线平行或垂直

设,,则

.

夹角公式

设,b=,则

.

异面直线所成角

=

(其中()为异面直线所成角,分别表示异面直线的方向向量)

直线与平面所成角,(为平面的法向量).

二面角的平面角

(,为平面,的法向量).

异面直线间的距离

(是两异面直线,其公垂向量为,分别是上任一点,为间的距离).

点到平面的距离

(为平面的法向量,是经过面的一条斜线,).

冲刺训练

冲刺训练

一、单选题

1.(2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测)已知是三条不同的直线,是三个不重合的平面,则下列说法错误的是(????)

A.若,则.

B.若与异面,,则存在,使得.

C.若,则.

D.若,则.

2.(2023·浙江·校联考模拟预测)如图是我国古代量粮食的器具“升”,其形状是正四棱台,上、下底面边长分别为20cm和10cm,侧棱长为cm.“升”装满后用手指或筷子沿升口刮平,这叫“平升”.则该“升”的“平升”约可装(????)

??

A.1.5L B.1.7L C.2.3L D.2.7L

3.(2023·福建宁德·校考二模)在长方体中,和与底面所成的角分别为和,则异面直线和所成角的余弦值为(????)

A. B. C. D.

4.(2023·山东泰安·统考模拟预测)鲁班锁(也称孔明锁、难人木、六子联方)起源于古代中国建筑的榫卯结构.如图1,这是一种常见的鲁班锁玩具,图2是该鲁班锁玩具的直观图,每条棱的长均为2,则该鲁班锁的两个相对三角形面间的距离为(????)

??

A. B.

C. D.

5.(2023·广东佛山·统考模拟预测)如图,在平行六面体中,以顶点A为端点的三条棱长都是a,且,,E为的中点,则点E到直线的距离为(????)

??

A. B. C. D.

6.(2023·江苏扬州·统考模拟预测)车木是我国一种古老的民间手工工艺,指的是用刀去削旋转着的木头,可用来制作家具和工艺品,随着生产力的进步,现在常借助车床实施加工.现要加工一根正四棱柱形的条木,底面边长为,高为.将条木两端夹住,两底面中心连线为旋转轴,将它旋转起来,操作工的刀头逐步靠近,最后置于离旋转轴处,沿着旋转轴平移,对整块条木进行加工,则加工后木块的体积为(????).

A. B. C. D.

7.(2023·福建福州·福州四中校考模拟预测)在如图所示的试验装置中,两个正方形框架的边长均为2,活动弹子在线段上移动(包含端点),弹子分别固定在线段的中点处,且平面,则当取最大值时,多面体的体积为(????)

??

A. B. C. D.

8.(2023·河北张家口·统考三模)风筝又称为“纸鸢”,由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期,相传墨翟以木头制成木鸟,研制三年而成,是人类最早的风筝起源.如图,是某高一年上级学生制作的一个风筝模型的多面体为的中点,四边形为矩形,且,当时,多面体的体积为(????)

??

A. B. C. D.

9.(2023·广东梅州·统考三模)在马致远的《汉宫秋》楔子中写道:“毡帐秋风迷宿草,穹庐夜月听悲笳.”毡帐是古代北方游牧民族以为居室、毡制帷幔.如图所示,某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体,圆锥的高为4,侧面积为,圆柱的侧面积为,则该毡帐的体积为(????)

????

A. B. C. D.

10.(2023·浙江·校联考模拟预测)在三棱锥中,,,二面角的平面角为,则三棱锥外接球表面积的最小值为(????)

A. B.

C. D.

二、多选题

11.(2023·山东·山东省实验中学校考二模)如图,在矩形中,,,为的中点,现分别沿、将、翻折,使点、重合,记为点,翻折后得到三棱锥,则(????)

??

A.

B.三棱锥的体积为

C.三棱锥外接球的半径为

D.直线与所成角的余弦值为

12.(2023·山东潍坊·三模)如图所示的几何体,是将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点,作平行于底面的截面所得,且其所有棱长均为1,则(????)

??

A.直线与直线所成角为 B.直线与平面所成角为

C.该几何体的体积为 D.该几何体中,二面角的余弦值为

13.(2023·广东梅州·统考三模)已知正方体的棱长为2,为四边形的中心,为线段上的一个动点,为线段上一点,若三棱锥的体积为定值,则(????)

A. B.

C. D.

14.(2023·云南曲靖·校考三模)如图,棱长为2的正方体中,点分别是棱的中点,则(????)

??

A.直线为异面直线

B.平面

C.过点的平面截正

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