专题13 基本不等式小题综合（解析版）_1.docxVIP

专题13基本不等式小题综合

冲刺秘籍

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基本不等式

，当且仅当时取等号

其中叫做正数，的算术平均数，

叫做正数，的几何平均数

通常表达为：（积定和最小）

应用条件：“一正，二定，三相等”

基本不等式的推论

重要不等式

（和定积最大）

当且仅当时取等号

当且仅当时取等号

拓展1几个重要平均数的大小关系

时有，，当且仅当时取等

拓展2权方和不等式

若则当且仅当时取等.

冲刺训练

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一、单选题

1．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】用表示后，根据基本不等式可求出结果.

【详解】因为，

由，得，

所以，

当且仅当时，等号成立.

故的最小值为.

故选：D

2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知正实数满足，则的最小值是（????）

A．5 B．9 C．13 D．18

【答案】D

【分析】由题意结合对数运算推出，从将化为，展开后利用基本不等式即可求得答案.

【详解】由题意正实数满足，

则，

故，

当且仅当，结合，即时取得等号，

即的最小值是18，

故选：D

3．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】令，把方程化为，根据方程有解，利用，求得，进而求得的最大值.

【详解】令，则，

方程可化为，

整理得，则满足，

解得，所以，即，

所以的最大值为.

故选：B.

4．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）若，则的最小值是（????）

A． B．1

C．2 D．

【答案】C

【分析】根据给定等式，利用均值不等式变形，再解一元二次不等式作答.

【详解】，当且仅当时取等号，

因此，即，解得，

所以当时，取得最小值2.

故选：C

5．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知正实数满足，则的最小值为（????）

A．2 B．4 C．8 D．9

【答案】C

【分析】化简已知式可得，因为，由基本不等式求解即可.

【详解】

，

而，

当且仅当，即取等.

故选：C.

6．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若直线恒过点A，点A也在直线上，其中均为正数，则的最大值为（????）

A． B． C．1 D．2

【答案】B

【分析】根据直线的定点可得，进而可得，结合基本不等式运算求解.

【详解】因为，则，

令，解得，

即直线恒过点.

又因为点A也在直线上，则，

可得，且，

则，即，当且仅当时，等号成立

所以的最大值为.

故选：B.

7．（2023·湖南·校联考模拟预测）设，为正实数，，，则（????）

A． B． C．1 D．

【答案】D

【分析】首先由得出，由得出，代入得出，而，即，由基本不等式等号成立条件得出，即可得出答案．

【详解】因为，

所以，

又因为，

所以，

所以，

所以，即，

又，当且仅当时，等号成立，

所以，此时，

所以，

故选：D．

8．（2023·重庆·统考模拟预测）设a，b为正数，若直线被圆截得弦长为4，则的最小值为（????）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】D

【分析】根据直线与圆的位置关系可得，再由均值不等式求解即可.

【详解】由可得，

故圆的直径是4，

所以直线过圆心，即，

又，

当且仅当，即，即时，等号成立.

故选：D.

9．（2023·四川绵阳·三台中学校考一模）已知各项都为正数的等比数列，满足，若存在两项，，使得，则最小值为（????）

A．2 B． C． D．1

【答案】B

【分析】先利用等比数列的通项公式求得公比，从而推得的值，由此利用基本不等式“1”的妙用即可得解.

【详解】因为正项等比数列满足，设其公比为，则，，

所以，得，解得，

因为，所以，则，即，故，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.

故选：B.

10．（2023·江西·校联考二模）实数，，满足：，则的范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】用立方和公式和完全平方公式将用与表示，再分离出，使用基本不等式求解即可.

【详解】∵，∴，

∴，∴，

∴，

∵，，令，则

易知与均不为且符号相同，∴，解得或.

（此时，可通过验证时，满足题意，，结合选项确定选项D正确.）

又∵，，，，

∴由基本不等式，，当且仅当时，等号成立，

∴，

又∵，

∴，（当时，），

∴解得，即，当且仅当时，等号成立.

∴综上所述，的取值范围是.

故选：D.

【点睛】易错点睛：本题若忽视中的与同号，直接使用基本不等式求解，就容易错解，而优先考虑与同号，并结合选项进行特值验证，则可以很轻松的选出正确选项.

二、多选题

11．（2023·重庆·统考模拟预测）若实数，满足，则（????）

A． B．

C． D．

【