专题21 数列大题综合（原卷版）_1.docxVIP

专题21数列大题综合

冲刺秘籍

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等差数列通项公式：或

等比数列通项公式：

的类型，公式

数列求和的常用方法：

对于等差、等比数列，利用公式法可直接求解；

等差数列求和，等比数列求和

（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；

（3）对于结构，利用分组求和法；

（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.

或通项公式为形式的数列，利用裂项相消法求和.

即

常见的裂项技巧：

；

；

指数型；

对数型.

等

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一、解答题

1．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知是数列的前项和，，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和．

2．（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江一中校考三模）已知数列是正项等比数列，且.

(1)求的通项公式;

(2)若，求数列的前项和.

3．（2023·黑龙江大庆·统考二模）设数列是首项为1，公差为d的等差数列，且，，是等比数列的前三项．

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和．

4．（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知数列，，，，．

(1)求证：数列是等比数列，并求数列的前n项和；

(2)求数列的前n项和．

5．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）已知数列的前项和为，且，．

(1)求数列的通项公式；

(2)集合，将集合的所有非空子集中最小的元素相加，其和记为，求．

6．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知数列满足，__________，以下三个条件中任选一个填在横线上并完成问题.

①，②???③

(1)求数列的通项公式；

(2)记数列的前项积为，求的最大值．

7．（2023·福建三明·统考三模）已知数列满足，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，的前项和为，证明：.

8．（2023·广东·校联考模拟预测）记为数列的前项和，已知的等差中项为.

(1)求证为等比数列；

(2)数列的前项和为，是否存在整数满足？若存在求，否则说明理由.

9．（2023·广东佛山·校考模拟预测）如果数列对任意的，，则称为“速增数列”.

(1)请写出一个速增数列的通项公式，并证明你写出的数列符合要求；

(2)若数列为“速增数列”，且任意项，，，，求正整数的最大值.

10．（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）已知数列满足.

(1)求数列的通项公式；

(2)记数列的前项和为，证明：.

11．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知各项均为正数的数列，满足，．

(1)求数列的通项公式；

(2)记，试比较与9的大小，并加以证明．

12．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．

设数列的前项和为，满足________，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若存在正整数，使得对恒成立，求的值．

13．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）如图的形状出现在南宋数学家杨浑所著的《详解九章算法?商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球.......设各层球数构成一个数列.

??

(1)写出与的递推关系，并求数列的通项公式；

(2)记数列的前项和为，且，在与之间插入个数，若这个数恰能组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和.

14．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）数列的各项均为正数，前项和为，且满足．

(1)求数列的通项公式．

(2)设数列满足条件①；②，请从条件①②中选一个，求出数列的前项和．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

15．（2023·福建泉州·泉州七中校考模拟预测）已知数列的前项的积记为，且满足

(1)证明：数列为等差数列;

(2)若求数列的前项和.

16．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知等差数列，其前项和满足为常数.

(1)求及的通项公式；

(2)记数列，求前项和的.

17．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知各项均为正数的数列的首项，其前项和为，从①；②，；③中任选一个条件作为已知，并解答下列问题.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，设数列的前项和，求证：.

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.

18．（2023·云南·校联考模拟预测）已知数列是等比数列，满足，且是与的等差中项.

(1)求数列的通项公式；

(2)设为数列的前项和，记，求的取值范围.

19．（2023·广东梅州·统考三模）已知数列满足，，.

(1)证明：数列为等比数列.

(2)数列满足，求数列的前项和.

20．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知定义在上的函数.

(1)求的最小值；

(2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；

(3)若，证明：

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