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2023年数学全国甲卷试卷

2023年数学全国甲卷试卷

一、选择题（每题5分，共20题）

1.某人每天早上骑自行车上班，他发现如果提前10分钟出发，他能够

提前6分钟到达目的地；如果他延迟出发10分钟，他将会迟到9分钟。

那么他正常出发需要多少分钟？

解析：

设他正常出发需要x分钟。根据题意可得：x-10=6，x+10=-9

由此得出，他正常出发需要25分钟。

2.已知一枚质量为m的铁球从高空落下，经过5s后，速度达到60m/s。

那么在之后的1s内，该铁球又下落了多少米？

解析：

根据物理学中的直线运动公式，可得速度v=gt，其中g为重力加速度，

t为时间。

解题过程中，利用已知条件：60=g×5，求出g的数值为12m/s^2。

因此，在之后的1s内，速度为v=12×1=12m/s，下落的距离为s=

12×1/2=6m。

3.若正方体ABCDABCD的棱长为a，O为其对角线BD的中点，则向

量OA等于（）。

A.a(1,1,1)

B.a(1,-1,1)

C.a(1,-1,-1)

D.a(1,1,-1)

解析：

根据向量的定义：向量OA=向量OD+向量AD-向量AO

根据正方形的性质，向量OD=-1/2向量OA=-1/2a(1,1,1)

向量AD=a(1,0,0)，向量AO=-1/2a(1,1,1)

将以上向量相加可得向量OA=a(1,-1,1)，故选择B选项。

4.给定初值条件y(0)=5，质点在水平面上匀速运动，y=5-x^2代表

其运动的路径。求质点在x轴上的位移与时间t的关系。

解析：

x轴上的位移即为y轴的数值，根据已知路径方程可得y=5-x^2

则位移为x=√(5-y)

将y=0带入可得位移在t=√5时为0。

二、解答题

1.函数f(x)=x^2-6x+9的图像是一条抛物线。求该抛物线的顶点坐

标。

解析：

由于这是一个二次函数，顶点的横坐标是x=-b/2a，即-(-6)/2(1)=3。

将x=3带入函数f(x)得：f(3)=9-18+9=0，所以顶点的纵坐标为

0。

因此，该抛物线的顶点坐标为(3,0)。

2.已知集合A={1,2,3,4,5}，B={2,4,6,8}，C={3,6,9}。求

A∪(B∩C)的结果。

解析：

首先，计算B∩C的结果：B∩C={6}

然后，将A与B∩C进行并集操作：A∪(B∩C)={1,2,3,4,5,6}。

三、应用题

某公司共有5个项目部，A、B、C、D、E，每个项目部都有自己的工

程师和设计师。现需要将这些人员进行分组，且每个组内需有至少1

个工程师和1个设计师。问有多少种分组方案？

解析：

根据组合数学的知识，可以使用排列组合的方式求解。

首先，选出一个工程师和一个设计师分到A组，共有5种选择。

剩下的工程师和设计师中，还需要选3个人分到剩下的4个项目部内。

根据排列组合的公式，可得C(8,3)=56。

因此，共有5*56=280种分组方案。

本文以上题目涉及不同的题型，既有计算题，又有解答题和应用题。

希望这些题目能够帮助读者加深对数学知识的理解和应用。