专题10 倍长中线模型（知识精讲）-冲刺中考数学几何专项复习.docxVIP

倍长中线模型知识精讲

1. 如图，在矩形ABCD中，若BD＝BE，DF＝EF，则AF⊥CF.

证明：连接AC，如图所示：

由题意可证△ADF≌△HEF，∴AD＝BC＝EH，

∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，

又∵BD＝BE，∴AC＝CH，

∵AF＝FH，∴点F是AH的中点，∴AF⊥CF（三线合一）.

2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，BC＝2AB，M为AD的中点，CE⊥AB于点E，则∠DME＝3∠AEM.

法一、证明：延长EM交CD的延长线于点N，连接CM，如图所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠AB∥CD，∴∠AEM＝∠N，

在△AEM与△DNM中，，∴△AEM∽△DNM（ASA），∴EM＝MN，

又∵AB∥CD，CE⊥AB，∴CE⊥CD，∴CM是Rt△ECN斜边的中线，

∴MN＝MC，∠N＝∠MCN，∴∠EMC＝2∠N＝2∠AEM，

∵在平行四边形ABCD中，BC＝AD＝2DM，BC＝2AB＝2CD，∴DC＝MD，

∴∠DMC＝∠MCD＝∠N＝∠AEM，

∴∠EMD＝∠EMC＋∠CMD＝2∠AEM＋∠AEM，∴∠EMD＝3∠AEM.

法二、证明：设BC的中点为N点，连接MN交EC于点P，连接MC，如图所示：

由题意可得AM＝BN，MD＝NC，

∵BC＝2AB，∴四边形ABNM与四边形MNCD均为菱形，

∴MN∥AB，∠AEM＝∠EMN，

∵CE⊥AB，∴MN⊥CE，

又∵AM＝MD，MN∥AB，∴点P为EC的中点，

∴MP垂直平分EC，∴∠EMN＝∠NMC，

又∵四边形MNCD是菱形，∴∠NMC＝∠CMD，

∴∠EMD＝3∠EMN＝3∠AEM.

3. 如图，△ADE与△ABC均为等腰直角三角形，且EF＝CF，求证

（1）DF＝BF；

（2）DF⊥BF.

证明：延长BF至点G，使得FG＝FB，连接BD、DG、EG，如图所示：

在△EFG与△CFB中，，∴△EFG≌△CFB，

∴EG＝CB，∠EGF＝∠CBF，∴EG∥BC，

∵AB＝BC，AB⊥CB，∴EG＝AB，EG⊥AB，

又∵∠AED＝∠DAE，∴∠DAB＝∠DEG，

在△DAB与△DEG中，，∴△DAB≌△DEG，

∴DG＝DB，∠ADB＝∠EDG，∴∠BDG＝∠ADE＝90o，

∴△BGD为等腰直角三角形，∴DF＝BF且DF⊥BF.

4. 如图，△OAB∽△ODC，∠OAB＝∠ODC＝90o，BE＝EC，求证：

（1）AE＝DE；

（2）∠AED＝2∠ABO.