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专题10圆中的最值模型之瓜豆原理(曲线轨迹)
动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型,学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚,该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎,致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形,构建问题解决的一般思路,是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理(动点轨迹为圆弧型)进行梳理及对应试题分析,方便掌握。
【模型解读】
模型1、运动轨迹为圆弧
模型1-1.如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,Q为AP中点.Q点轨迹是?
如图,连接AO,取AO中点M,任意时刻,均有△AMQ∽△AOP,QM:PO=AQ:AP=1:2.
则动点Q是以M为圆心,MQ为半径的圆。
模型1-2.如图,△APQ是直角三角形,∠PAQ=90°且AP=kAQ,当P在圆O运动时,Q点轨迹是?
如图,连结AO,作AM⊥AO,AO:AM=k:1;任意时刻均有△APO∽△AQM,且相似比为k。
则动点Q是以M为圆心,MQ为半径的圆。
模型1-3.定义型:若动点到平面内某定点的距离始终为定值,则其轨迹是圆或圆弧。(常见于动态翻折中)
如图,若P为动点,但AB=AC=AP,则B、C、P三点共圆,
则动点P是以A圆心,AB半径的圆或圆弧。
模型1-4.定边对定角(或直角)模型
1)一条定边所对的角始终为直角,则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧.
如图,若P为动点,AB为定值,∠APB=90°,则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。
2)一条定边所对的角始终为定角,则定角顶点轨迹是圆弧.
如图,若P为动点,AB为定值,∠APB为定值,则动点P的轨迹为圆弧。
【模型原理】动点的轨迹为定圆时,可利用:“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和,最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。
例1.(2023.江苏九年级期中)如图,中,于点是半径为2的上一动点,连结,若是的中点,连结,则长的最大值为()
A.3 B. C.4 D.
例2.(2023·江苏·九年级专题练习)如图,线段为的直径,点在的延长线上,,,点是上一动点,连接,以为斜边在的上方作,且使,连接,则长的最大值为.
例3.(2022·江苏南通·校考模拟预测)如图,已知正方形ABCD的边长为2,以点A为圆心,1为半径作圆,E是⊙A上的任意一点,将线段DE绕点D顺时针方向旋转90°并缩短到原来的一半,得到线段DF,连结AF,则AF的最小值是.
??
例4.如图,在矩形纸片ABCD中,,,点E是AB的中点,点F是AD边上的一个动点,将沿EF所在直线翻折,得到,则的长的最小值是
A. B.3 C. D.
例5.(2023·江苏盐城·九年级统考期中)如图,为的直径,C为上一点,其中,,D为上的动点,连接,取中点M,连接,则线段的最大值为.
例5.(2022·河南·二模)如图,正方形中,,,点坐标为,连接,点为边上一个动点,连接,过点作于点,连接,当取最小值时,点的纵坐标为(????)
A. B. C. D.
例6.(2022秋·江苏盐城·九年级统考阶段练习)如图,四边形中,,,,,平分,边DC、上分别有动点E、F,保持,和相交于点P,则的最小值为.
课后专项训练
1.(2023秋·河北唐山·九年级统考期末)如图,点是正六边形内一点,,当时,连接,则线段的最小值是(????)
??
A. B. C.6 D.
2.(2023·山东临沂·统考二模)如图,C在以为直径半圆上,,,点D是弧上的一动点,,连接,则的长的最小值是(????)
??
A. B.1 C. D.
3.(2023春·广东·九年级专题练习)如图,正方形中,,点为边上一个动点,连接,点为上一点,且,在上截取点使,交于点,连接,则的最小值为()
A. B. C. D.
4.(2022·陕西渭南·三模)如图,在矩形ABCD中,,,点E在BC上,且,点M为矩形内一动点,使得,连接AM,则线段AM的最小值为______.
5.(2023·安徽合肥·校考一模)如图,在中,,,以为边作等腰直角,连,则的最大值是(????)
A. B. C. D.
6.(2023春·浙江宁波·九年级校考阶段练习)如图,直径,的夹角为,为上的一个动点(不与点,,,重合).,分别垂直于,,垂足分别为,.若的半径长为,则的长()
A.随点运动而变化,最大值为 B.等于
C.随点运动而变化,最小值为 D.随点运动而变化,没有最值
7.(2023·江苏·九年级专题练习)如图,中,,,则边的最大值为()
A. B. C.8 D.
8.如图,在中,,,,点在以为直径的半
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