高考数学一轮总复习考点规范练16 利用导数研究函数的极值、最值.docVIP

第PAGE6页共NUMPAGES8页

考点规范练16利用导数研究函数的极值、最值

一、基础巩固

1.已知函数f(x)=x3-3+n等于()

A.0 B.2

C.-4 D.-2

答案:B

解析:f(x)=3x2-6x+1,因为函数f(x)=x3-3,x2=n为3x2-6+n=-(-6

2.若x=1是函数f(x)=ax+lnx的极值点,则()

A.f(x)有极大值-1

B.f(x)有极小值-1

C.f(x)有极大值0

D.f(x)有极小值0

答案:A

解析:f(x)=a+1x

∵x=1是函数f(x)=ax+lnx的极值点,

∴f(1)=0,∴a+11=0,∴

当x1时,f(x)0,f(x)单调递减;当0x1时,f(x)0,f(x)单调递增.

因此当x=1时,f(x)有极大值-1.

3.函数f(x)=lnx-x在区间(0,e]上的最大值为 ()

A.-1 B.1-e

C.-e D.0

答案:A

解析:f(x)=1x-1=1-x

4.若a∈R,则“a3”是“函数f(x)=(x-a)ex在区间(0,+∞)内有极值”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案:A

解析:由题意,函数f(x)=(x-a)ex,则f(x)=(x-a+1)ex.

令f(x)=0,可得x=a-1,

当xa-1时,f(x)0;当xa-1时,f(x)0,

所以函数y=f(x)在x=a-1处取得极小值.

若函数y=f(x)在区间(0,+∞)上有极值,则a-10,解得a1.

因此“a3”是“函数f(x)=(x-a)ex在区间(0,+∞)上有极值”的充分不必要条件.

5.已知函数f(x)=13x3

A.-103 B.2 C.5 D.

答案:B

解析:f(x)=x2-4.令f(x)0,解得x2或x-2,

令f(x)0,解得-2x2,

故f(x)在区间[0,2)内单调递减,在区间(2,3]内单调递增,故f(x)的最大值是f(0)或f(3),

而f(0)=af(3)=a-3,故f(0)=a=2.

6.(多选)(新高考Ⅱ,11)若函数f(x)=alnx+bx+

A.bc0 B.ab0

C.b2+8ac0 D.ac0

答案:BCD

解析:函数f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)=a

因为函数f(x)既有极大值也有极小值,所以g(x)=ax2-bx-2c在区间(0,+∞)上有两个不同的零点,即一元二次方程ax2-bx-2c=0有两个不同的正实数根,设这两个正实数根为x1,x2,所以Δ=

所以b2+8ac0,且ab0,ac0,bc0,

所以A不正确,B,C,D正确.故选BCD.

7.已知x=1是函数f(x)=ax3-bx-lnx(a0,b∈R)的一个极值点,则lna与b-1的大小关系是 ()

A.lnab-1

B.lnab-1

C.lna=b-1

D.以上都不对

答案:B

解析:f(x)=3ax2-b-1x,∵

∴f(1)=3a-b-1=0,即3a-1=b.

令g(a)=lna-(b-1)=lna-3a+2(a0),则g(a)=1a-3=1

即g(a)在区间0,13内单调递增,在区间13

故g(a)max=g13

8.写出一个存在极值的奇函数.?

答案:f(x)=sinx(答案不唯一,满足条件即可)

解析:根据题意,函数可以为f(x)=sinx,

当x=π2+2kπ,k∈Z时,f(x)=sinx取得极大值,当x=-π2+2kπ,k

9.若函数f(x)=x(x-a)2在x=2处有极小值,则a=.?

答案:2

解析:由f(x)=x(x-a)2=x3-2ax2+a2x,可知f(x)=3x2-4ax+a2.

依题意可得f(2)=3×22-4a×2+a2=0,解得a=2或a=6.当a=6时,f(x)=3x2-24x+36=3(x2-8x+12).

由f(x)=3(x2-8x+12)0,可得x2或x6;由f(x)=3(x2-8x+12)0,可得2x6.

故f(x)在x=2处取得极大值,不合题意.故a=2.

10.已知a,b∈R,函数f(x)=13x3+ax2

(1)若a=-2,求b的值;

(2)求函数f(x)在区间[1,4]上的最小值(用b表示).

解:(1)∵函数f(x)=13x3+ax2

∴f(x)=x2+2ax+b.

∵函数f(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,2)内单调递减,

∴f(1)=1+2a+b=0.

∵a=-2,∴b=3.

(2)由(1)知f(1)=1+2a+b=0,即2a=-b-1.

则f(x)=13x3-b+12x

即f(x)=x2-(b+1)x+b=(x-b)(x-1).

当b≤1时,f(x)=(x-b)(x-1