专题12 圆中的重要模型之定角定高（探照灯）模型、米勒最大角模型（解析版）.docxVIP

专题12圆中的重要模型之定角定高（探照灯）模型、米勒最大角模型

圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借助圆的特性来探究最值情形。而轨迹问题是近些年中考压轴题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也可以与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较大。

模型1.米勒最大张角（视角）模型

【模型解读】已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。

米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。

【模型证明】

如图1，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。

在三角形AC’D中，

又

【解题关键】常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。

例1．（2023·广东湛江·中考模拟）如图，海边立有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓形（弓形的弧是⊙O的一部分）区域内，∠AOB=80°．为了避免触礁，轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为

【答案】40°

【分析】利用圆周角定理，即可求解．

【详解】解：∵海边立有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓形（弓形的弧是⊙O的一部分）区域内，∠AOB=80°

∴当P点在圆上时，轮船P与A、B的张角∠APB的最大，

∴∠APB的最大值为∠AOB=40°．故答案为：40°

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键．

例2．（2023·北京·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，P为x轴正半轴上一点．已知点，，为的外接圆．

（1）点M的纵坐标为；（2）当最大时，点P的坐标为．

【答案】5(4，0)

【分析】（1）根据点M在线段AB的垂直平分线上求解即可；

（2）点P在⊙M切点处时，最大，而四边形OPMD是矩形，由勾股定理求解即可．

【详解】解：（1）∵⊙M为△ABP的外接圆，

∴点M在线段AB的垂直平分线上，

∵A(0，2)，B(0，8)，∴点M的纵坐标为：，故答案为：5；

（2）过点，，作⊙M与x轴相切，则点M在切点处时，最大，

理由：若点是x轴正半轴上异于切点P的任意一点，

设交⊙M于点E，连接AE，则∠AEB=∠APB，

∵∠AEB是ΔAE的外角，∴∠AEB∠AB，

∵∠APB∠AB，即点P在切点处时，∠APB最大，

∵⊙M经过点A(0，2)、B(0，8)，

∴点M在线段AB的垂直平分线上，即点M在直线y=5上，

∵⊙M与x轴相切于点P，ＭP⊥x轴，从而MP=5，即⊙M的半径为5，

设AB的中点为D，连接MD、AM，如上图，则MD⊥AB，AD=BD=AB=3，BM=MP=5，

而∠POD=90°，∴四边形OPMD是矩形，从而OP=MD，

由勾股定理，得MD=，

∴OP=MD=4，∴点P的坐标为(4，0)，故答案为：(4，0)．

【点睛】本题考查了切线的性质，线段垂直平分线的性质，矩形的判定及勾股定理，正确作出图形是解题的关键．

例3．（2023·江苏南京·九年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，M是CD的中点，点P是BC上一个动点，若∠DPM的度数最大，则BP＝．

【答案】/

【分析】作△PMD的外接圆⊙O，当⊙O与BC相切时，∠DOM最大，即∠DPM最大，根据相似三角形的性质求出PC即可．

【详解】解：作△PMD的外接圆，则圆心O在DM的中垂线上移动，

∵∠DOM＝2∠DPM，∴当∠DOM最大时，∠DPM最大，

当⊙O与BC相切时，∠DOM最大，

∵M是CD的中点，CD＝4，∴CM＝DM＝2，

∵CP是⊙O的切线，PM是弦，∴∠CPM＝∠CDP，

又∵∠P