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专题14解直角三角形之新定义模型

解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。高中数学为这类试题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。这类试题往往对学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能，所以平时教学挖掘这方面解题技能及功效尤为重要。恰当地构建模型可以拓宽解题思路，优化解题过程，丰富解题内涵。

【知识储备】

模型1、新定义模型

此类模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关定理（公式），而这些定理（公式）也可利用初中数学知识证明。

若无特殊说明，一般认为△ABC的3个角∠A、∠B、∠C，分别对应边a、b、c；

1）正弦定理：如图1，（其中R是三角形外接圆的半径）。

图1图2

2）余弦定理：如图2，．

3）正弦面积公式：如图2，.

4）同角三角函数的基本关系式:，。

5）和（差）、二倍角角公式：

;.

;.

.

例1．（2020·山东日照市·中考真题）阅读理解：

如图1，Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，其外接圆半径为R．根据锐角三角函数的定义：sinA＝，sinB＝，可得＝＝c＝2R，即：＝＝＝2R，（规定sin90°＝1）．

探究活动：如图2，在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，其外接圆半径为R，

那么：（用＞、＝或＜连接），并说明理由．

事实上，以上结论适用于任意三角形．

初步应用：在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠A＝60°，∠B＝45°，a＝8，求b．

综合应用：如图3，在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔CD的高度，在A处用测角仪测得塔顶C的仰角为15°，又沿古塔的方向前行了100m到达B处，此时A，B，D三点在一条直线上，在B处测得塔顶C的仰角为45°，求古塔CD的高度（结果保留小数点后一位）．（≈1.732，sin15°＝）

【答案】探究活动：＝，＝，＝；初步应用：；综合应用：古塔高度约为36.6m．

【分析】探究活动：过点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD，根据圆周角定理和正弦概念即可得出，同理得出，从而得出答案；

初步应用：根据，得出，即可得出b的值；

综合应用：由题意得：∠D＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝45°，AB＝100，可知∠ACB＝30°．设古塔高DC＝x，则BC＝，灾解直角三角形即可得出答案．

【详解】解：探究活动：，

理由如下：如图2，过点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD，

∴∠A＝∠D，∠DBC＝90°，∴sinA＝sinD，sinD＝，∴，

同理可证：，∴；故答案为：＝，＝，＝．

初步应用：∵，∴，∴．

综合应用：由题意得：∠D＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝45°，AB＝100，∴∠ACB＝30°．

设古塔高DC＝x，则BC＝，

∵，∴，∴，

∴，∴古塔高度约为36.6m．

【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形，添加合适的辅助线是解题的关键．

例2．（2023秋·广东九年级课时练习）我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，边角之间是否也存在某种关系呢？（已知）

如图，锐角中，、、所对的边分别为a、b、c，过点C作，

在中，，∴，

在中，由勾股定理得，即，

整理可得：，同理可得：．

利用上述结论解答下列问题：（1）在中，，求a和的大小；

（2）在中，，其中，求边长c的长度．

【答案】（1），；（2）

【分析】（1）根据给出的公式，把已知条件代入计算，求出a的值，根据勾股定理的逆定理证明直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到答案；

（2）把数据代入相应的公式，得到关于c的一元二次方程，解方程得到答案．

【详解】解：（1）在中，，∴，

∵，即，∴为直角三角形，，

又∵，∴；

（2）∵，

∴，化简得，解得，，

∵，∴．

【点睛】本题考查的是新定义和解直角三角形的知识，理解新定义并正确运用新定义的公式是解题的关键，注意应熟记特殊角的三角函数值．

例3．（2023·山西·九年级统考期中）阅读下列内容，并解答问题：三角形的一个面积公式

小明喜欢通过多渠道学习数学知识，一天，他运用网络有哪些信誉好的足球投注网站学会了一个三角形面积公式，这个公式叙述如下：在中，已知，，，则的面积为.

请你完成以下活动：问题探究：（1）如图1，已知是锐角三角形，，，，请证明上述三角形面积公式仍然成立；

问题解决：（2）如图2，在中，，，.则的面积是__