专题15 三角函数中的最值模型之胡不归模型（解析版）.docxVIP

专题15三角函数中的最值模型之胡不归模型

胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。

【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”

看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.

知识储备：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。

【模型解读】一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）

1），记，即求BC+kAC的最小值.

2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值.

3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．

【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。

【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。

例1．（2023上·江苏淮安·八年级校联考期中）已知等边中，，，若点P在线段上运动时，的最小值为．

【答案】12

【分析】根据题意易得，则有，过点P作于点E，进而可得，当取最小时，即为最小，则有当点B、P、E三点共线且时最短，进而可求解．

【详解】解：∵是等边三角形，∴，

∵，∴，过点P作于点E，如图所示：

∴，∴，∴当取最小时，即为最小，

∴当点B、P、E三点共线时且时最小，如图所示：

∵为等边三角形，∴，∴最小值为；故答案为：12．

【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及含角的直角三角形的性质，垂线段最短，两点之间线段最短，熟练掌握等边三角形的性质及含角的直角三角形的性质是解题的关键．

例2．（2023秋·山东日照·九年级校联考期末）如图，在矩形中，，，点P是对角线上的动点，连接，则的最小值为（????）

A． B．6 C． D．4

【答案】B

【分析】直接利用已知得出，再将原式变形，进而得出最小值，进而得出答案．

【详解】解：过点A作，过点D作于点M，交于点P，

∵在矩形中，，，∴，

∴，则，∴，

∴，．

即的最小值为6．故选B．

【点睛】本题考查的是矩形的性质，锐角三角函数的应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键．

例3．（2023·重庆·九年级期中）如图所示，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值为

A．4 B．5 C． D．

解：如图，过点作于点，过点作于点，连接交于点．

四边形是菱形，，

，，，

，，，

，，，

，，的最小值为4，故选：．

例4．（2023·云南昆明·统考二模）如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且．P是对角线上一动点，则的最小值为（????）

A．4 B． C． D．

【答案】D

【分析】连接AC，作，证明当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG，再利用勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果．

【详解】解：连接AC，作

∵是正方形且边长为4，∴，，，

∵，∴，∴，

∴当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG，

∵，，∴，∵，∴，

设，则，∴，解得：，

设，则，∵，∴，解得：

∴，故选：D

【点睛】本题考查正方形的性质，动点问题，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是证明当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG．

例5．（2023·湖北武汉·一模）如图，在中，，，半径为的经过点，是圆的切线，且圆的直径在线段上，设点是线段上任意一点不含端点，则的最小值为______．

【答案】

【分析】过点作关于的平行线，过点作垂直于该平行线于，可将转化为，此时就等于，当共线时，即为所要求的最小值．

【详解】解：如图所示，过点作关于的平行线，过点作垂直于该平行线于，

，，，，

，，，，

当，，三点共线，即在图中在位置，在位置的时候有最小，

当，，三点共线时，有最小值，此时，

的最小值为，故答案为．

【点睛】本题主要考查了最值问题中的胡不归