人教A版高中数学(选择性必修第二册)同步讲义第15讲 5.3.1 函数的单调性 （原卷版）.docVIP

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5.3.1函数的单调性

课程标准

课标解读

1.理解导数与函数的单调性的关系.

2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.

3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．

4.会利用导数证明一些简单的不等式问题.

5.掌握利用导数研究含参数的单调性的基本方法．

通过本节课要求能利用函数的导数判断函数的单调性，会求简单函数的单调区间，能证明简单的不等式，会利用导数解决单调性与含参数相关的问题.

知识点1函数的导数与单调性的关系

一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内，

(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增。

(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减。

(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数。

知识点2利用导数求函数的单调区间的方法

(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间．

注：①确定函数y＝f(x)的定义域；②求导数y′＝f′(x)；③解不等式f′(x)0，解集在定义域内的部分为增区间；④解不等式f′(x)0，解集在定义域内的部分为减区间．

(2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间．

注：①确定函数y＝f(x)的定义域；②求出导数f′(x)的零点；③用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．

(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间．

【即学即练1】求下列函数的单调区间

（1）f(x)＝SKIPIF10；（2）y＝SKIPIF10x2－lnx．（3）f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；

（4）f(x)＝sinx－x(0xπ)．（5）SKIPIF10；（6）SKIPIF10．

【即学即练2】函数y＝ln(x2－x－2)的递减区间为________.

【即学即练3】利用导数判断下列函数的单调性：

(1)f(x)＝x2－2x＋alnx(aeq\f(1,2))；(2)f(x)＝eq\f(lnx,x)(xe)．

知识点3函数的单调性与其导数正负的关系

定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：

f′(x)的正负

f(x)的单调性

f′(x)0

单调递增

f′(x)0

单调递减

恒有f′(x)＝0

是常数函数，不具有单调性

特别提醒：①若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．

注：一般情况下，由不等式SKIPIF10确定函数增区间，由SKIPIF10确定函数的减区间．但在区间SKIPIF10上SKIPIF10恒成立，且SKIPIF10的点是孤立的，则SKIPIF10在SKIPIF10上单调递增，如函数SKIPIF10在SKIPIF10上是增函数，但SKIPIF10有无数个解．

②可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．

③函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，“f′(x)0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件。

④利用导数解决单调性问题需要注意的问题

(1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．

(2)注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点．

(3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开．

【即学即练4】函数SKIPIF10在SKIPIF10上单调递增，则a的取值范围是________．

【即学即练5】已知函数SKIPIF10在SKIPIF10上单调递减，则S