专题18 赵爽弦图模型与勾股树模型（解析版）.docxVIP

专题18赵爽弦图模型与勾股树模型

赵爽弦图分为内弦图与外弦图，是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”。弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中数学思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量，它就是数学教育里的不老神话。广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。

模型1、弦图模型

（1）内弦图模型：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，则有结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH；S正方形ABCD=4S△EAB+S正方形EFGH。

图1图2图3

（2）外弦图模型：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，且四边形EFGH是正方形，则有结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH；S正方形ABCD=4S△EAB+S正方形EFGH。

（3）内外组合型弦图模型：如图3，2S正方形EFGH=S正方形ABCD+S正方形PQMN.

例1．（2023春·湖南常德·八年级统考期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据大正方形的面积和勾股定理推出，然后结合完全平方公式的变形得出，最后由小正方形的面积为，即可得出结论．

【详解】解：如图所示，由题意，，，

∵大正方形的面积为13，∴，∵，∴，

∵，∴，

∵，∴小正方形的面积为，故选：B．

【点睛】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理，熟练运用完全平方公式的变形是解题关键．

例2．（2022·浙江·温州市八年级期中）如图1，我国汉代赵爽在注解《周牌算经》时给出四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，人们称它为“赵爽弦图”如图2，连结，，，，记阴影部分面积为，空白部分面积为，若，则________；如图3，连结，相交于点，与相交于点．若，则________．

【答案】????##????##

【分析】设直角三角形较短直角边长为，较长的直角边长为，斜边长为，分别表示出，根据即可求解，根据，以及等腰三角形的性质，求得，得出，根据即可求解．

【详解】设直角三角形较短直角边长为，较长的直角边长为，斜边长为，

，，

，，，，，，

四边形是正方形，，，，

，，，，，

，．故答案为：，．

【点睛】本题考查勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，设参数求解是解题关键．

例3．（2022·北京东城·八年级期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（???????）

A．19 B．44 C．52 D．76

【答案】D

【分析】根据勾股定理计算出BD即可求得周长．

【详解】解：如下图所示，设AC延长一倍到D点，

得，∴，

∵，∴这个风车的外围周长，故选：D．

【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是根据勾股定理计算出斜边的长．

例4．（2023·浙江九年级）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若，则S2的值是（）

A．9 B．8 C．7 D．6

【答案】C

【分析】根据图形的特征得出线段之间的关系，进而利用勾股定理求出各边之间的关系，从而得出答案．

【详解】∵图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，

∴CG＝NG，CF＝DG＝NF，∴S1＝（CG+DG）2＝CG2+DG2+2CG?DG＝GF2+2CG?DG，S2＝GF2，

S3＝（NG﹣NF）2＝NG2+NF2﹣2NG?NF，

∵S1+S2+S3＝21＝GF2+2CG?DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG?NF＝3GF2，∴S2的值是：7．故选：C．

【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知得出S1+S2+S3＝21＝GF2+2CG?