专题20 二次函数与相似三角形存在性问题（原卷版）.docxVIP

专题20二次函数与相似三角形存在性问题

解题点拨

【问题描述】

在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三角形存在性问题”．

【基本定理】

判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；

判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；

判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形．

以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法，解决问题．

【题型分析】

通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为“单动点”类、“双动点”两类问题．

【思路总结】

根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定2、3可以发现，都有角相等！

所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角．

然后再找：

思路1：两相等角的两边对应成比例；

思路2：还存在另一组角相等．

事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思路1．

一、如何得到相等角？

二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？

搞定这两个问题就可以了．

直击中考

1．如图，设抛物线与轴交于两个不同的点、，对称轴为直线，顶点记为点．且．

(1)求的值和抛物线的解析式；

(2)已知过点A的直线交抛物线于另一点．若点在轴上，以点、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标；

(3)在（2）的条件下，的外接圆半径等于．（直接写答案）

2．（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点C(0，3)，顶点D的横坐标为1．

(1)求抛物线的解析式；

(2)在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB＋∠ACB＝180°．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．

3．（2022·辽宁·统考中考真题）抛物线y＝ax2﹣2x+c经过点A(3，0)，点C(0，﹣3)，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线于点E．抛物线的对称轴交AE于点B，交x轴于点D，交直线AC于点F．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图①，点P为直线AC下方抛物线上的点，连接PA，PC，△BAF的面积记为S1，△PAC的面积记为S2，当S2＝S1时．求点P的横坐标；

(3)如图②，连接CD，点Q为平面内直线AE下方的点，以点Q，A，E为顶点的三角形与△CDF相似时（AE与CD不是对应边），请直接写出符合条件的点Q的坐标．

4．（2022·广西桂林·统考中考真题）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．

(1)直接写出A，B，C三点的坐标；

(2)求CP+PQ+QB的最小值；

(3)过点P作PM⊥y轴于点M，当CPM和QBN相似时，求点Q的坐标．

5．（2022·广西玉林·统考中考真题）如图，已知抛物线：与x轴交于点A，（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上的任一点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点D为线段的中点，则能否是等边三角形？请说明理由；

(3)过点P作x轴的垂线与线段交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与相似，求点P的坐标．

6．（2021·黑龙江·统考中考真题）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，连接，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与相似，请直接写出点P的坐标．

7．（2023秋·上海浦东新·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的正、负半轴分别交于点B、A，与y轴交于点C，已知，，．

(1)求该抛物线的表达式；

(2)设该抛物线的对称轴分别与x轴、交于点E、F，求的长；

(3)在（2）的条件下，联结，如果点P在该抛物线的对称轴上，当和相似时，求点P的坐标

8．如图，直线分别交轴、轴于、两点，绕点按逆时针方向旋转后得到，抛物线经过、、三点．

(1)填空：，、，、，；

(2)求抛物线的函数关系式；

(3)为抛物线的顶点，在线段上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．