专题24 二次函数与三角函数综合问题（解析版）.docxVIP

专题24二次函数与三角函数综合问题

1．（山东滨州中考）如图①，抛物线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点逆时针旋转90°，所得直线与轴交于点．

（1）求直线的函数解析式；

（2）如图②，若点是直线上方抛物线上的一个动点

①当点到直线的距离最大时，求点的坐标和最大距离；

②当点到直线的距离为时，求的值．

【答案】（1）；（2）①当点到直线的距离最大时，点的坐标是，最大距离是；②的值是或．

【分析】（1）根据已知条件可计算出点A、B、C的坐标，再证明OA=OD，即可得D点的坐标，因此可得AD所在直线的解析式.

（2）①作轴交直线于点，设P点的横坐标为t,因为P在抛物线上因此可得纵坐标为，因为N点在直线AD上因此可得N，根据三角函数可得PH的长度，再利用二次函数可得PH取最大值时t的值,进而计算出P点的坐标;②解二元一次方程即可得到t的值，再根据t的值计算即可.

【详解】解：（1）当时，则点的坐标为，

当时，，解得，，则点的坐标为，点的坐标为，

∴，

∴，

∵将直线绕点逆时针旋转得到直线，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴点的坐标为，

设直线的函数解析式为

，得，

即直线的函数解析式为；

（2）作轴交直线于点，如图①所示，

设点的坐标为，则点的坐标为，

∴，

∴轴，

∴轴，

∴，

作于点，则，

∴，

∴当时，取得最大值，此时点P的坐标为，

即当点到直线的距离最大时，点的坐标是，最大距离是；

②当点到直线的距离为时，如图②所示，

则，

解得：，

则的坐标为，的坐标为，

当的坐标为，则，

∴；

当的坐标为，则，

∴；

由上可得，的值是或．

【点睛】本题是一道二次函数的综合性题目，关键在于设P点的横坐标，最后将其转化成二次函数的最值问题，通过求解二次函数的最值问题来求解最短距离,难度系数较大，是一道特别好的题目，应当熟练的掌握.

2．（湖北咸宁中考）如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是第一象限抛物线上的点，连接OP交直线AB于点Q．设点P的横坐标为m，PQ与OQ的比值为y，求y与m的关系式，并求出PQ与OQ的比值的最大值；

（3）点D是抛物线对称轴上的一动点，连接OD、CD，设△ODC外接圆的圆心为M，当sin∠ODC的值最大时，求点M的坐标．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+x+3；（2）y=﹣m2+m，PQ与OQ的比值的最大值为；（3）点M的坐标为（﹣1，）或（﹣1，﹣）．

【详解】【分析】（1）根据直线解析式求得点A、B的坐标，将两点的坐标代入抛物线解析式求解可得；

（2）过点P作y轴的平行线交AB于点E，据此知△PEQ∽△OBQ，根据对应边成比例得y=PE，由P（m，﹣m2+m+3）、E（m，﹣m+3）得PE=﹣m2+m，结合y=PE可得函数解析式，利用二次函数性质得其最大值；

（3）设CO的垂直平分线与CO交于点N，知点M在CO的垂直平分线上，连接OM、CM、DM，根据∠ODC=∠CMO=∠OMN、MC=MO=MD知sin∠ODC=sin∠OMN=，当MD取最小值时，sin∠ODC最大，据此进一步求解可得．

【详解】（1）在y=﹣x+3中，令y=0得x=4，令x=0得y=3，

∴点A（4，0）、B（0，3），

把A（4，0）、B（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得：

，

解得：，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+3；

（2）如图1，过点P作y轴的平行线交AB于点E，

则△PEQ∽△OBQ，

∴，

∵=y、OB=3，

∴y=PE，

∵P（m，﹣m2+m+3）、E（m，﹣m+3），

则PE=（﹣m2+m+3）﹣（﹣m+3）=﹣m2+m，

∴y=（﹣m2+m）=﹣m2+m=﹣（m﹣2）2+，

∵0＜m＜3，

∴当m=2时，y最大值=，

∴PQ与OQ的比值的最大值为；

（3）如图，由抛物线y=﹣x2+x+3易求C（﹣2，0），对称轴为直线x=1，

∵△ODC的外心为点M，

∴点M在CO的垂直平分线上，

设CO的垂直平分线与CO交于点N，连接OM、CM、DM，

则∠ODC=∠CMO=∠OMN、MC=MO=MD，

∴sin∠ODC=sin∠OMN=，

又MO=MD，

∴当MD取最小值时，sin∠ODC最大，

此时⊙M与直线x=1相切，MD=2，

MN==，

∴点M（﹣1，﹣），

根据对称性，另一点（﹣1，）也符合题意；

综上所述，点M的坐标为（﹣1，）或（﹣1，﹣）．

【点睛】本题考查了函数与几何综合题，涉及到待定系数法、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用、最值问题等，综合性质较强，有一定的难度，正确添加辅助线，利用数形结合思想、灵活应用相关知识是解题的关键.

3．（2022·辽宁锦州·统考中考真题）