专题27 二次函数与图形图象变换问题（解析版）.docxVIP

专题27二次函数与图形图象变换问题

在二次函数压轴题中，经常会把图形图象的平移、翻折、旋转三种变换放在其中，以考察学生的综合分析能力，是各地区的热点考察题型。

直击中考

类型一：平移

1．（2022·江苏镇江·统考中考真题）一次函数的图像与轴交于点，二次函数的图像经过点、原点和一次函数图像上的点．

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)如图1，一次函数与二次函数的图像交于点、（），过点作直线轴于点，过点作直线轴，过点作于点．

①_________，_________（分别用含的代数式表示）；

②证明：；

(3)如图2，二次函数的图像是由二次函数的图像平移后得到的，且与一次函数的图像交于点、（点在点的左侧），过点作直线轴，过点作直线轴，设平移后点、的对应点分别为、，过点作于点，过点作于点．

①与相等吗？请说明你的理由；

②若，求的值．

【答案】(1)

(2)①，；②见解析

(3)①，理由见解析；②3

【分析】（1）通过一次函数表达式可以求出A、B两点坐标，将A、B、C三点坐标代入二次函数表达式即可求解；

（2）①通过联立关系式可得：，利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到的值；

②通过A（-2，0），E即可求出AE的长度；

通过B，F即可求出BF的长度；

（3）①通过二次函数平移前后的表达式可以确定新二次函数的图像是由原二次函数的图像向右平移个单位，向上平移3个单位得到的，从而可以得到：，．通过联立关系式可得：，利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到点P、点Q的横坐标，通过坐标即可表示出的长度．

②由①可得，求解即可．

【详解】（1）令，则，解得，

∴，

将点代入中，解得，

∴点的坐标为．

将，，代入可得：

，解得：，

∴二次函数的表达式为．

（2）①∵一次函数与二次函数的图像交于点、（），

∴联立关系式得：，

整理得：，

解得：，，

故答案为：，；

②当时，位于的上方，∵、，

∴，，

∴，

当时，位于的下方，同理可证．

故可得：；

（3）方法一：

①∵二次函数图像的顶点为，

二次函数的图像的顶点为，

∴新二次函数的图像是由原二次函数的图像向右平移个单位，向上平移3个单位得到的．

∴的对应点为，的对应点为，

联立关系式可得：，

整理得：，

，

当时，解得：，，

∴，，

∴．

②∵，．

∴，

∴，

解得:．

方法二：

①设、平移前的对应点分别为、，则．

则，

∵、平移前的对应点分别为、，

由（2）②及平移的性质可知，．

②∵，

∴，

∵到轴的距离为，点是轴与二次函数的图像的交点，

∴平移后点的对应点即为点．

∵二次函数图像的顶点为，

二次函数的图像的顶点为，

∴新二次函数的图像是由原二次函数的图像向右平移个单位，向上平移3个单位得到的．

∴，将点的坐标代入中，解得．

另解：

∵，

∴，

的对应点为．

∵，

∴点的横坐标为，代入，得．

∴．将点的坐标代入中，解得．

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，联立关系式求交点坐标及利用点的坐标表示线段的长度，能够熟练掌握函数中表示线段长度的方法，求交点坐标的方法，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解决本题的关键．

2．（2022·山东枣庄·统考中考真题）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作ACx轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．

(1)求抛物线的关系式；

(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；

(3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；

(4)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3

(2)P点坐标为（，）

(3)h的取值范围为3≤h≤4

(4)存在，点P的坐标是（，）或（，）或（，）或（，）

【分析】（1）利用待定系数法可得抛物线的解析式；

（2）过P作PGy轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得△OPE的面积，利用二次函数的最值可得其最大值；

（3）求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与OE的交点坐标、与AE的交点坐标，用含h的代数式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出h的取值范围；

（4）存在四种情况：作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据|OM|＝|PN|，列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．

【详解】（1）解：∵抛物线L：y＝x2+bx