第10讲 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式（原卷版）_1.docx

第10讲从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式

1．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数．

2．了解函数的零点与方程根的关系．

3．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．

4．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．

知识点一二次函数的零点

1．一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取eq\a\vs4\al(零)时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点．

2．函数的零点不是点，而是一个实数，是函数的图象与x轴交点的横坐标，也是函数值为零时自变量x的值，也是函数相应的方程的实数根．

知识点二一元二次方程的根、二次函数的图象、二次函数的零点之间的关系

当a0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如表所示：

判别式

Δ＝b2－4ac

Δ0

Δ＝0

Δ0

方程ax2＋

bx＋c＝0

的根

有两个相异

的实数根

x1，2＝

eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)

有两个相等

的实数根

x1＝x2＝

－eq\f(b,2a)

没有实数根

二次函数

y＝ax2＋

bx＋c的

图象

二次函数

y＝ax2＋

bx＋c的

零点

有两个零点

x1，2＝

eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)

有一个零点

x＝－eq\f(b,2a)

无零点

知识点三一元二次不等式及解法

1．一元二次不等式

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是eq\a\vs4\al(2)的整式不等式，称为一元二次不等式．

2．一元二次不等式的解法

(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：

①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c0(a0)或ax2＋bx＋c0(a0)；

②求方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；

③由图象得出不等式的解集．

(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解．

当mn时，若(x－m)(x－n)0，则可得xn或xm；若(x－m)(x－n)0，则可得mxn.

知识点四二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

判别式Δ＝b2－4ac

Δ0

Δ＝0

Δ0

方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根

有两个相异的实数根x1，2＝

有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)

没有实数根

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的零点

有两个零点x1，2＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)

有一个零点x＝－eq\f(b,2a)

无零点

ax2＋bx＋c0(a0)的解集

(－∞，x1)∪(x2，＋∞)

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))

eq\a\vs4\al(R)

ax2＋bx＋c0(a0)的解集

(x1，x2)

eq\a\vs4\al(?)

eq\a\vs4\al(?)

1．函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c0表示二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围．

2．方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．

考点一：求二次函数的零点

例1(1)二次函数y＝x2－7x＋12的零点为________；

(2)若函数y1＝x2－ax－b的图象如图所示，则函数y2＝bx2－ax－1的零点是________．

【总结】

二次函数零点的求法

(1)代数法：求出方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根，即为函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点；

(2)几何法：对于不能用求根公式或分解因式求解的方程，可以将它与对应函数的图象联系起来，利用函数的性质求零点．

变式求下列函数的零点．

(1)y＝3x2－2x－1；

(2)y＝ax2－x－a－1(a∈R)；

(3)y＝ax2＋bx＋c，其图象如图所示．

考点二：函数的零点个数的判断与证明

例2若a2，求证：函数y＝(a－2)x2－2(a－2)