线性代数方程组的迭代解法.ppt

关于线性代数方程组的迭代解法§2Jacobi和Gauss-Seidel迭代法一、Jacobi迭代法设方程组将系数矩阵分裂为：其中第2页,共25页，星期六，2024年，5月如果原方程组可化为其中相应的迭代格式上述方法称为Jacobi迭代法，简称J法或简单迭代法分量形式：第3页,共25页，星期六，2024年，5月二、Gauss-Seidel迭代法G-S迭代法是J迭代法的一种改进在J迭代公式中，计算时，利用已经算出来的新的值，从而得到G-S迭代法。?G-S迭代法的分量形式：第4页,共25页，星期六，2024年，5月例1：利用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解方程组解：Jacobi迭代格式第5页,共25页，星期六，2024年，5月G-S迭代格式计算结果取初值Jacobi迭代法要求精度迭代次数0.0019(1.00025071.00006941.0002507)0.000110(0.99995411.00012530.9999541)0.0000114(0.99999811.00000200.9999981)方程组的近似解第6页,共25页，星期六，2024年，5月?G-S迭代法的迭代矩阵：计算结果Gauss-Seidel迭代法要求精度迭代次数0.0015(0.99979160.99984791.0000664)0.00017(0.99999290.99999491.0000022)0.000018(1.00000131.00000090.9999996)方程组的近似解取初值由迭代公式迭代矩阵第7页,共25页，星期六，2024年，5月三、Jacobi和Gauss-Seidel迭代法的收敛性Jacobi迭代法收敛的充要条件是Gauss-Seidel迭代法收敛的充要条件是推论1：Jacobi迭代法收敛的充分条件是Gauss-Seidel迭代法收敛的充分条件是如例1：利用J和G-S迭代法求解方程组第8页,共25页，星期六，2024年，5月Jacobi迭代矩阵系数矩阵第9页,共25页，星期六，2024年，5月Gauss-Seidel迭代矩阵第10页,共25页，星期六，2024年，5月设满足称为严格对角占优矩阵如果且至少有一个严格不等式成立，则称为弱对角占优矩阵。设，如果能找到排列阵，使得其中与均为方阵，称为可约的否则称为不可约的第11页,共25页，星期六，2024年，5月例如：矩阵是可约的若系数矩阵是可约的，则可通过行与列重排化为（*）式，从而可以将方程组简化为低阶方程组。第12页,共25页，星期六，2024年，5月（补充:可约矩阵的等价定义）是可约矩阵，当且仅当存在一个下标的非空子集，使得例如：矩阵矩阵不可约第13页,共25页，星期六，2024年，5月如果严格对角占优，则，且非奇异。如果不可约且弱对角占优，则，且非奇异。自己看证明：?首先证明设由条件：是弱对角占优，交换的第k、n行与k、n列，则矩阵变为与不可约矛盾！第14页,共25页，星期六，2024年，5月?其次证明是非奇异的设则存在非零向量满足定义下标的集合且令对某个j显然J非空，否则第15页,共25页，星期六，2024年，5月对，有由此可知，当时，但对于都有所以否则与弱对角占优矛盾！与不可约矛盾第16页,共25页，星期六，2024年，5月如果为严格对角占优或为不可约且弱对角占优矩阵，则求解方程组的J法和G-S法均收敛。证明：仅给出不可约且弱对角占优矩阵G-S法的证明只要证明，其中设有一个特征值，满足，且有是不可约且弱对角占优矩阵，由定理6.8：第17页,共25页，星