专题2-2椭圆（考点清单，3种题型典例剖析+考场练兵）原卷版.docx

专题2-2椭圆（考点清单，3种题型典例剖析+考场练兵）

一．椭圆的定义

1．椭圆的第一定义

平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆，其中，这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距．

2．椭圆的第二定义

平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e＝（0＜e＜1，其中a是半长轴，c是半焦距）的点的轨迹叫做椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e叫椭圆的离心率．

3．注意要点

椭圆第一定义中，椭圆动点P满足{P||PF1|+|PF2|＝2a}．

（1）当2a＞|F1F2|时，动点P的轨迹是椭圆；

（2）当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2；

（3）当2a＜|F1F2|时，动点P没有运动轨迹．

【命题方向】

利用定义判断动点运动轨迹，需注意椭圆定义中的限制条件：只有当平面内动点P与两个定点F1、F2的距离的和2a＞|F1F2|时，其轨迹才为椭圆．

二．椭圆的标准方程

椭圆标准方程的两种形式：

（1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；

（2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．

两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2

两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．

标准方程

（a＞b＞0）

中心在原点，焦点在x轴上

（a＞b＞0）

中心在原点，焦点在y轴上

图形

顶点

A（a，0），A′（﹣a，0）

B（0，b），B′（0，﹣b）

A（b，0），A′（﹣b，0）

B（0，a），B′（0，﹣a）

对称轴

x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b

焦点在长轴长上

x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b

焦点在长轴长上

焦点

F1（﹣c，0），F2（c，0）

F1（0，﹣c），F2（0，c）

焦距

|F1F2|＝2c（c＞0）

c2＝a2﹣b2

|F1F2|＝2c（c＞0）

c2＝a2﹣b2

离心率

e＝（0＜e＜1）

e＝（0＜e＜1）

准线

x＝±

y＝±

三．椭圆的性质

1．椭圆的范围

2．椭圆的对称性

3．椭圆的顶点

顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．

顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）

其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．

4．椭圆的离心率

①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1．

②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：

e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．

5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．

一．椭圆的定义（共3小题）

1．（2023春?杨浦区校级期中）已知椭圆上的点到一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为．

2．（2023春?杨浦区校级月考）若方程的系数、、可以从，0，1，2，3，4这6个数中任取3个不同的数而得到，则这样的方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是．（结果用数值表示）

3．（2023春?普陀区校级月考）在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则．

二．椭圆的标准方程（共5小题）

4．（2023春?黄浦区校级期中）椭圆的长轴长为．

5．（2023春?金山区校级期末）已知，表示椭圆，则是的条件．

6．（2023春?崇明区期末）设是椭圆的长轴，点在上，且，若，，则的两个焦点之间的距离为．

7．（2023?浦东新区三模）已知，曲线．

（1）若曲线为圆，且与直线交于，两点，求的值；

（2）若曲线为椭圆，且离心率，求椭圆的标准方程；

（3）设，若曲线与轴交于，两点（点位于点的上方），直线与交于不同的两点，，直线与直线交于点，求证：当时，，，三点共线．

8．（2023春?杨浦区校级期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴两个端点为、，且四边形是边长为2的正方形．

（1）求椭圆的方程；

（2）若、分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连接，交椭圆于点．证明：为定值．

（3）在（2）的条件下，试问轴上是否存异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线、的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

三．椭圆的性质（共32小题）

9．（2023春?静安区校级期中）椭圆的一个焦点坐标为，则实数

A． B． C． D．

10．（2023春?浦东新区校级期中）已知椭圆的右焦点为，左顶点为，若上的点满足轴，，则的离心率为

A． B． C． D．